Начальные условия для пластины

x^2 S^2

t / _{t = 0} = F (x) = t_c + D t _н

t_c - температура середины тела в начальный момент времени;

D t _н = t _п - t _с - перепад температур между поверхностью и серединой тела;

t _п - температура поверхности тела.

Таким образом, на поверхности тела температура одинакова и равна t _п как в начальный момент времени, так и в течение всего рассматриваемого промежутка времени.

Подставив граничные и начальные условия в общее решение уравнения теплопроводности для граничных условий 1 ^го рода, после интегрирования и преобразования получим решение для пластины

 

t = t _п + (t _с - t _п ) ×         (20)

или в критериальной форме

	t - tп

tс - tп

s ^2

F1

=

                           ( ;; х / s).

Значения Ф₁ вычислены и представлены в виде графиков.

Для цилиндра аналитическое решение при заданных граничных условиях выглядит так

 

t = t _п + (t _с - t _п) ×    (21)

i ₀ и I ₁ - функции Бесселя нулевого и 1 ^го порядка.

m _n - значение корней характеристического уравнения

Решение в критериальной форме будет иметь вид

q _ц = F ₁ (Fo; r / R),

Выведенные решения могут применяться для определения температурного поля в пластине и цилиндре во время выдержки в печах. Эти же формулы могут служить для решения обратной задачи - определения продолжительности выдержки.

Для бесконечной пластины температура в середине тела в момент времени t  может быть найдена по формуле ( при   а × t / S ² ³ 0,06)

tп - t

tп - tс

= 1,03

 

Для цилиндра бесконечной длины т емпература на оси может быть рассчитана по формуле ( при   а × t / R ² ³ 0,08)

tп - t

tп - tс

= 1,11

 

Для цилиндра радиусом R и высотой 2Н

tп - t

tп - tс

= 1,14

 

37. Температура печи и тепловой поток во время выдержки

Для определения необходимой температуры печи во время выдержки воспользуемся выражением, связывающим закон теплопроводности и закон теплоотдачи от газов к поверхности металла

 

¶t ¶ x

l a

¶t ¶ x

x=S

a (t _печ - t _пов) = l

x=S

откуда                               t _печ = t _пов +                                                 (22)

Определив ¶ t / ¶ х  из решения (20)  при х = S и подставив в выражение (22) получаем для пластины

t _печ = t _пов + (t _пов - t_c) × ;                (23)

или в общем виде

tпеч - tпов

 =

tпов - tс

Аналогично для цилиндра

tпеч - tпов

 =

tпов - tс

Значения F приведены в литературе.

Тепловой поток определяется из выражения (23).

Для пластины

q = a (t _печ - t _пов) = (t _пов - t_c) .        (24)

Или                                                                           (25)

Для цилиндра

                         (26)

Значения F приведены в литературе.

Известно, что теплообмен излучением в рабочем пространстве печей может быть выражен в форме

q = C _пр ×

где С_ПР - приведённый коэффициент излучения.

Отсюда

t _ПЕЧ = 100 ×

где q  для пластины и цилиндра определяются из выражений (24), (25), (26).

 

38. Нагрев с постоянной скоростью изменения температуры поверхности

Тогда граничные условия.

Для пластины бесконечной длины и ширины t _{x = ± S} = t _н + C × t

Для бесконечного цилиндра                          t    _{r = R} = t _н + C × t.

Начальные условия.

Температурный градиент в начальный момент времени отсутствует.

t _{t = 0} = t _н = F (x)

t _{t = 0} = t _н = F (r)

t _н - начальная температура поверхности тела, ⁰С.

С - скорость нагрева ( изменение t _пов тела ), ⁰С / ч

Подставляя граничные и начальные условия в общее уравнение теплопроводности при граничных условиях 1 ^го рода, получим

Для пластины

t = t _н + C × t +

Для цилиндра

t = t _н + C × t +

Результаты расчёта функции Ф приведены литературе в виде графиков.

При t > S ² / а - для пластины и t > 0,5 × R ² / а  - для цилиндра функция Ф принимает столь малые значения, что они могут быть отброшены.

Тогда решения принимают вид

Для пластины

t = t _н + C × t +

Для цилиндра

t = t _н + C × t +

Для середины пластины, цилиндра, т.е. при х / S = 0; r / R = 0

t_c = t _н + C × t -

t_c = t _н + C × t -

При t > S ² / а - для пластины и t > 0,5 × R ² / а - для цилиндра решения принимают вид

t_c = t _н + C × t -

t_c = t _н + C × t -

Перепад температур между поверхностью центром для пластины и цилиндра

D t =

D t =

При t > S ² / а - для пластины и t > 0,5 × R ² / а - для цилиндра функция Ф может быть отброшена вследствие малости

(27)

D t_m =

D t_m =

Из полученных формул следует, что при линейном изменении температуры поверхности и, при неизменном значении коэффициента температуропроводности, разность температур поверхности и центра сначала увеличивается, а затем, достигнув наибольшего значения, определяемого формулами (27), сохраняет это значение постоянным. Эта максимальная разность температур прямо пропорциональна скорости нагрева, квадрату толщины и обратно пропорциональна температуропроводности.

Так как в действительности температуропроводность металла уменьшается с повышением температуры, то максимальная разность температур, продолжает увеличиваться в соответствии с изменением температуропроводности.

39. Температура печи и тепловой поток для обеспечения линейного изменения температуры поверхности тела

Температура печи и тепловой поток для обеспечения линейного изменения температуры поверхности тела определяются по методике ранее рассмотренной.

Для пластины.

t _печ = 100 ×

Для цилиндра

t _печ = 100 ×

или

t _печ = 100 ×

где тепловой поток

q = C × S × c_p × r × (1 - F)

(28)

q = C × R × c_p × r × (0,5 - F)

Здесь F = F ( × t / S ²) или F = F (а × t / R ²).

После подстановки (27) в (28) и преобразования получим

q = 2 D t_m × (l / S) × (1 - F);

q = 2 D t_m × (l / R) × (1 - 2F)

При t > S ² / а - для пластины и t > 0,5 × R ² / а - для цилиндра функция F может быть отброшена вследствие малости, тогда

D t_m =     для пластины                    D t_m =     для цилиндра

ВЫВОДЫ

1. Температура печи должна увеличиваться с увеличением температуры поверхности тела.

2. Температура печи и тепловой поток увеличиваются с увеличением скорости нагрева, коэффициента теплопроводности и разности температур D t_m

3. При одной и той же скорости нагрева температура печи и тепловой поток увеличиваются с увеличением толщины тела.

4. При одной и той же разности температур тепловой поток и температура печи уменьшаются с увеличением толщины тела.

5. При прочих равных условиях температура печи и тепловой поток при нагреве цилиндра должны быть меньше, чем при нагреве пластины.

40. граничные условия 2 ^го рода