Требуется найти распределение температур в стенке и тепловой поток.

Выделим внутри стенки кольцевой слой толщиной dr.

Согласно закону Фурье количество тепла проходящего через этот слой в единицу времени

	dt

dr

dr

dt

Q = - l × F ×      = - l × 2 × p × r × l ×

Разделив переменные, получим

	Q		dr

2 × p × l × l

r

dt

= -         ^×           

Q

Интегрирование этого уравнения даёт

	lnr

2 × p × l × l

t = -          ×    + C                                 (6)

Подставляя значения переменных на границах стенки при r = r ₁;   t = t ₁ и при r = r ₂; t = t ₂ получим равенство

 

2 × p × l × l

Q

lnr1

t ₁ = -       ×   + C.                              (7)

	lnr2

2 × p × l × l

t ₂ = -

Q

    ×   + C.                              (8)

 

Вычитая из равенства (7)  равенство (8)  находим

									r2

r1

2 × p × l × l

2 × p × l × l

Q

Q

t₁ - t₂ =            × (ln r₂ - ln r₁) =         × ln

откуда определяется искомая величина Q

					2 × p × l × l
	2 × p × l × l
		r1

d1

d2

ln

Q =                  × (t ₁ - t ₂) =           × (t ₁ - t ₂).           (9)

Уравнение (9) является расчётной формулой теплопроводности цилиндрической стенки.

Если в уравнение (6)  подставить значение постоянной С  из уравнения (7), а значение Q из уравнения (9), то получим уравнение температурной кривой

	t1 - t2

d1

ln

t_x = t ₁ -          ×

 

 

Это уравнение логарифмической кривой. Следовательно, внутри цилиндрической стенки при постоянном значении коэффициента теплопроводности температура изменяется по логарифмической кривой.

Количество тепла, проходящего через стенку, может быть отнесено либо к одному погонному метру длины трубы, либо к единице внутренней или внешней поверхности трубы.

	Q		2 × p × l × D t

d2

ln

l

ln

d2

d1

q _l =     =                    Вт / м.                        (10)

		2 × l × D t

 

 

d1 ×

p × d1 × l

Q

q ₁ =                 =                  Вт / м².                (11)

 

 

d2

q ₂ =          =                    Вт / м².                (12)

Так как внутренняя и внешняя поверхности цилиндра по величине различны, то получаются различными и значения тепловых потоков q ₁ и q ₂. Из формул (10), (11), (12), можно получить соотношения, связывающие между собой величины q _l, q ₁, q ₂.

q _l = p × d ₁ × q ₁ = p × d ₂ × q ₂

28.ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ МНОГОСЛОЙНОЙ

ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ СТЕНКИ

Пусть цилиндрическая стенка состоит из нескольких, например трёх слоёв, прилегающих друг к другу с идеальным термическим контактом.

Известны температуры на внутренней и внешней поверхностях цилиндра t ₁ и t ₄. Диаметры и коэффициенты теплопроводности отдельных слоёв известны.

Требуется найти: тепловой поток, проходящий через стенку и температуры на границе слоёв.

При стационарном режиме количество тепла проходящего через каждый слой, одинаково и постоянно. Поэтому на основании формулы (10) можно написать

	2 × p × (t1 - t2)

1 l 1

d2d1

× ln

q _ℓ =                    ;

× ln

q _ℓ   =

2 × p × (t2 - t3)

q _ℓ =

 

Из этих уравнений определяется изменение температуры в каждом слое.

 

× ln

t ₁ - t ₂ =

t ₂ - t ₃

q l 2 p

1 l 3

d4 d3

=                                                     (13)

	× ln

t ₃ - t ₄ =