Средняя температура по сечению цилиндра

1 2

1 2

t_{c р} = t _пов - D t_m = t _с + D t_m.

Линия средней температуры пластины пересекает параболическую кривую распределения температур тела в точке, которая отстоит от начала координат по оси х на расстоянии х₁ = 0,577 × S

Линия средней температуры цилиндра пересекает параболическую кривую распределения температур тела в точке, которая отстоит от начала координат на расстоянии r ₁ = 0,707 × R.

41.ВРЕМЯ ЗАПАЗДЫВАНИЯ

Инерционное время - это время, в течение которого тепловая волна, идущая от поверхности, практически достигает середины тела при симметричном нагреве или другой точки тела, где температура минимальная, при несимметричном нагреве.

Инерционное время ( время начала подъёма температуры на оси тела ) пропорционально квадрату толщины нагреваемого слоя, обратно пропорционально температуропроводности материала, и зависит от формы тела. Оно определяется по зависимости

t ¢ = S ² / k × а,

где k = k ₁ × k ₂ × k ₃;

k ₁ - коэффициент формы ( для пластины равен 1, цилиндра -2,

шара 3).

k ₂ - коэффициент усреднения тепловых потоков по толщине тела (для пластины - 2, цилиндра - 2, шара -2).

k ₃ -коэффициент усреднения разности температур в теле (для пласти-

Ны - 3, цилиндра - 2, шара - 1,67).

Следовательно, инерционное время для пластины   t ¢ = S ² / 6 × а, для цилиндра   t ¢ = R ² / 8 × а.

Температура поверхности пластины в конце начального участка нагрева определим, подставляя в формулу (31)  значение t ¢ > 0,3 × S ² / а.

t _пов ¢ =  = × 1,27 = 1,27 × D t_m.

Аналогично находится температура поверхности цилиндра в конце начального участка нагрева (t ¢ > 0,25 × R ² / а)

t _пов ¢ = 1,5 × = 1,5 × D t_m.

Температура середины пластины в конце начального участка нагрева

t _с ¢ = t _пов ¢ -  = 1,27 × D t_m - D t_m = 0,27 × D t_m.

Температура середины цилиндра в конце начального участка нагрева

t _с ¢ = t _пов ¢ - = 0,5 × D t_m.

Продолжительность нагрева пластины до температуры t _пов находим из уравнения (31)

t = .

Продолжительность нагрева цилиндра до температуры t _пов находим из уравнения (32)

t = .

42.ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ 3 ^ГО РОДА

В этом случае задаются температура окружающей среды или внешнего источника тепла и закон теплообмена между средой и поверхностью тела. Граничные условия 3 ^го рода - наиболее общий и часто встречающийся случай.

Например, если теплообмен между окружающей средой, имеющей температуру   Т_печ, и поверхностью тела с температурой Т_пов осуществляется путём конвективной теплоотдачи, то плотность теплового потока подводимого к телу выражается с помощью формулы Ньютона

q = a (T _печ - T _пов).

С другой стороны плотность теплового потока отводимого с поверхности тела внутрь тела выражается формулой Фурье

	¶T ¶ n

q = - l ( )_пов

 

На основании закона сохранения энергии, приравнивая правые части, получим математическую формулу граничных условий 3 ^го рода для случая конвективной теплоотдачи на поверхности тела.

a (T _печ - T _пов)

¶T ¶ n

= - l (      )_пов

В этом уравнении известными величинами являются: коэффициент теплоотдачи a, температура среды T _печ, коэффициент теплопроводности l.

Неизвестными функциями времени и координат поверхности тела являются температура поверхности и её градиент.

Аналогичным способом задаются условия расчёта и при теплообмене радиацией.

Рассмотрим нагрев пластины неограниченной длины и ширины, но ограниченной толщины 2 S  и цилиндра бесконечной длины радиусом R.

Нагрев симметричный.

Нагрев происходит при постоянной температуре печи. При этом в начальный момент времени имеет место равномерное распределение температур по сечению тела

Поскольку плотность теплового потока поступающего на поверхность тела есть

q = a (t _печ - t _пов),

а тепловой поток, поступающий с поверхности в глубину тела, есть

q = - l × (¶ t / ¶ n),

то краевые условия записываются следующим образом:

Граничные условия

l × (¶ t / ¶ n) | _{х = ± S} = ± a (t _печ - t _пов);                (33)

Начальные условия

t | _{t = 0} = t _н.                                         (34)

Подставляя краевые условия   (33) (34) в общее решение дифференциального уравнения теплопроводности, после преобразований получим: для пластины

t = t _печ + (t _н - t _печ) .       (35)

Здесь значения h являются решениями ( корнями ) трансцендентного ( характеристического ) уравнения

ctg h = h / .

Корни этого уравнения представлены в литературе.

Так как постоянная h зависит от критерия В i, то сумма бесконечного ряда является функцией критериев Fo, Bi и симплекса x / S.

а

t - tпеч

Следовательно, решение (35) в общем виде выглядит

F (

=

tн - tпеч

aS l

t

s^2

                           ;  ; х / s).

Значения функции Ф в зависимости от критериев Fo, Bi  и симплекса

x / S приведены в виде графиков в справочной литературе.

По аналогичной методике получено решение для цилиндра бесконечной длины

q =            (36)

Это же решение можно выразить и в виде

q = Ф(а × t / R ²; a × R / l; r / R).

Значения функции Ф в зависимости от критериев Fo, Bi  и симплекса

r / R также представлены в литературе.

Приведенные решения и графики позволяют находить распределение температур по сечению тела по заданному времени нагрева, или определять время нагрева по заданной температуре тела.

Анализ решений  (35), (36) показывает, что ряд в нём быстро сходится. При а × t / S ² ³ 0,3 - для пластины и а × t / R ² ³ 0,25 для цилиндра можно ограничиться первым членом ряда и, как показал проф. Г.П. Иванцов погрешность при этом получается не более 1%. В этом случае наступает так называемый ² регулярный режим ², теория которого разработана Г.М.Кондратьевым.

Из решений (35) и (36) легко получить разность температур поверхности и центра.

 

Для пластины

D t = (t _печ - t _н) × ,

или

D t / (t _печ - t _н) = Ф (а × t / S ²; a × S / l).

Аналогично получаем разности температур поверхности и середины бесконечного цилиндра

D t = (t _печ - t _н) × ,

или

D t / (t _печ - t _н) = Ф (а × t / R ²; a × R / l).

Функции Ф представлены в литературе.

Анализ решений показывает, что разность температур поверхности и середины тела пропорциональна первоначальной разности температур печи и тела. Эта разность изменяется со временем: в начале нагрева она увеличивается и после достижения максимума постепенно падает.

С увеличением критерия Bi максимум разности температур увеличивается и перемещается в область меньших значений критерия Fo.  Это означает, что максимальное значение разности температур растёт с увеличением прогреваемой толщины тела и с уменьшением коэффициента теплопроводности.

Полученные решения могут быть использованы для определения максимума температурной разности, получающейся в процессе нагрева, и времени возникновения этого максимума.

Характер изменения скорости нагрева поверхности тела, можно найти, продифференцировав по времени решения (35) и (36).

Скорость нагрева будет пропорциональна первоначальной разности температур (t _печ - t _н), имеет в начальный момент максимальное значение, а затем постепенно падает, асимптотически приближаясь к нулю.

Среднюю по сечению температуру тела можно найти, используя коэффициент усреднения температур в теле   k ₃, или по графикам представленным в литературе.

Для пластины

(t _ср - t _печ) / (t _н - t _печ) = Ф_ср(а × t / S ²; a × S / l).

Для цилиндра

(t _ср - t _печ) / (t _н - t _печ) = Ф_ср(а × t / R ²; a × R / l).

Для малых значений критерия Фурье  следует пользоваться таблицами или графиками, построенными Д.В. Будриным и Б.А. Красовским.

Инерционное время для пластины

t ¢ = S ² / 6 × а.

Для цилиндра

t ¢ = R ² / 8 × а.

Рассмотрим математическое описание граничных условий 3 ^ГО  рода в случае радиационного теплообмена.

В связи со сложностью расчёта нелинейное граничное условие заменяют линейным, введя понятие «коэффициент теплоотдачи излучением», что позволяет использовать имеющиеся графики.

 

КонвеКЦИЯ

43. Конвекция. Общие понятия

Конвективным теплообменом называют такой процесс, когда движущиеся жидкость или газ механически переносят теплоту из более нагретых областей в менее нагретые. Однако необходимо иметь в виду, что наряду с конвективным переносом тепла в жидкости всегда имеет место теплопроводность, иногда играющая большую роль (например, в расплавленных металлах).

В газо-печной теплотехнике чаще всего рассматривают конвективный теплообмен жидкости или газа с поверхностью твердых тел, при котором тепло транспортируется к поверхности (или от нее) движущимися объемами жидкости или газа.

Чтобы привести жидкость в движение, к ней необходимо приложить силу. Силы, действующие на какой либо элемент среды, можно разделить на массовые ( или объемные ) и поверхностные. Массовыми называются силы, приложенные ко всем частицам жидкости и обусловленные внешними силовыми полями ( например, гравитационными ). Поверхностными называют силы, которые возникают вследствие действия окружающей жидкости или твердых тел. Они приложены к поверхности объема среды. Такими силами являются силы внешнего давления и силы трения.

Различают свободную и вынужденную конвекцию,

Свободной, или естественной, конвекцией называют перенос объема жидкости (газа) под действием неоднородного поля массовых сил, приложенных к частицам среды. Например, перенос объемов жидкости в результате движения, возникающего под действием силы тяжести при разности плотностей: более легкая часть жидкости поднимается вверх, более тяжелая - опускается вниз. Так воздух в близи горячей стенки печи нагревается и поднимается вверх, а на его место приходят новые холодные объемы, которые также нагреваются. Скорость течения тем выше, чем больше перепад температур между стенкой и воздухом.

Вынужденной конвекция называется тогда, когда движение обусловлено разностью давлений или инерцией, т.е. движение, происходит под действием внешних поверхностных сил, приложенных на границе (например, за счет работы компрессора, вентилятора, насоса).

При вынужденном движении обычно скорость выше, поэтому конвективный теплообмен с поверхностью нагрева протекает значительно интенсивнее, чем при свободной конвекции.

На теплоотдачу конвекцией оказывает влияние характер движения среды.

При ламинарном движении на теплоотдачу конвекцией большое влияние оказывает процесс теплопроводности в движущейся среде, поскольку в этом случае перенос тепла в направлении, перпендикулярном направлению движения потока теплоносителя, определяется только процессом молекулярного переноса вещества.

При вынужденном движении теплопроводность среды имеет небольшое значение, а скорость течения значительное, т.к. при этом увеличится степень турбулентности потока, умножится и участится контакт частиц потока с поверхностью тела. Этому же будет способствовать всякое искусственное возмущение потока.

Следовательно, турбулентному потоку всегда соответствует более высока, по сравнению с ламинарным, интенсивность теплоотдачи конвекцией.

Формула Ньютона-Рихмана

Несмотря на то, что процесс конвективной теплоотдачи является весьма сложным и зависит от большого количества параметров, для описания этого процесса используется весьма простое выражение: формула Ньютона-Рихмана

q _ПОВ = a × (T ₀ - T _ПОВ),

где   Т₀ - температура среды, К;

Т_ПОВ - температура поверхности тела, К;

a - коэффициент теплоотдачи,  Вт / (м² × К).

Таким образом, коэффициент теплоотдачи есть плотность теплового потока, на границе среды и соприкасающегося тела, отнесенная к разности температур поверхности тела и окружающей среды. Коэффициент теплоотдачи характеризует интенсивность теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой.

Коэффициент теплоотдачи есть величина, зависящая от режима движения и природы жидкости, явления теплопроводности, значений температур среды и поверхности, геометрических размеров и формы поверхности твердого тела, а также его расположения в потоке жидкости и скорости потока, омывающего поверхность тела.