Дифференциальные уравнения теплообмена

Изучить какое-либо явление, значит, установить зависимость между величинами, характеризующими это явление. Для сложных явлений, в которых определяющие величины меняются и во времени и в пространстве, установить зависимость между переменными очень трудно. В таких случаях, применяя общие законы физики, ограничиваются установлением связи между переменными ( координатами, временем, физическими свойствами ), в области, охватывающей лишь небольшой промежуток времени и лишь элементарный объем из всего пространства. Полученная таким образом зависимость является общим дифференциальным уравнением рассматриваемого процесса.

После интегрирования этого уравнения получают аналитическую зависимость между величинами для всей области интегрирования и длявсего рассматриваемого интервала времени. Такие дифференциальные уравнения могутбыть составлены для любого процесса и, в частности, для процесса теплоотдачи.

Так как теплоотдача определяется не только тепловыми, но и гидродинамическими явлениями, то совокупность этих явлений описывается системой дифференциальных уравнений, в которую входят: уравнение теплоотдачи; уравнение энергии; уравнение движения; уравнение неразрывности ( сплошности ).

Дифференциальное уравнение конвективной

Теплоотдачи

Предположим, что вблизи поверхности некоторого тела произвольной формы движется жидкость ( газ ), имеющая характерную температуру  Т_Ж, температура поверхности тела Т_ПОВ.

Известно, что скорость жидкости на поверхности тела равна нулю. Очевидно, что перенос тепла через этот бесконечно тонкий неподвижный слой жидкости может осуществляться лишь за счет молекулярной теплопроводности, т.е. этот перенос описывается постулатом Фурье

q _ПОВ = - l ×                               (1)

где n - координата, направленная по нормали к поверхности тела;

n = 0 - соответствует точке на поверхности;

l - коэффициент теплопроводности жидкости,  Вт / (м × К).

С другой стороны, в соответствии с формулой Ньютона для конвективной теплоотдачи, плотность теплового потока на поверхности выражается как

q = a × (Т_Ж - Т_ПОВ).                               (2)

Приравнивая на основании закона сохранения энергии правые части выражений (1)  и (2)  получим

a × (Т_Ж - Т_ПОВ) = - l × .

Полученное уравнение называется дифференциальным уравнение теплоотдачи. Это уравнение позволяет получить формулу для коэффициента теплоотдачи

a = .

Коэффициент теплоотдачи можно найти, если известно распределение температур   вблизи поверхности.

Температурный напор D T = T _Ж - Т_ПОВ  и коэффициент теплопроводности l должны быть заданы.

Знаком пренебрегаем, так как коэффициент теплоотдачи принято считать величиной положительной.