Рациональные формы сечения балок

Сечения балок, материал которых одинаково работает на растяжение и сжатие, должны быть прежде всего симмет­ричны относительно нейтральной линии, чтобы .

На рис. 7.13, а представлена эпюра s, построен­ная по известной формуле (7.6): . Рассмотрим прямоугольник (рис. 7.13, б).

 Найдем часть изгибающего момента , воспринимаемого половиной площади сечения (дважды заштрихова­на). Для всей площади сече­ния имеет место зависимость (7.7): . Для половины площади сечения это выражение примет вид: , где   – осевой момент инерции половины площади сечения (дважды заштрихованной). Приравняв правые части этих выражений, получим

                     ,                               (7.18)

где ; .

Таким образом, подставив (7.19) в (7.18), получим, что центральная половина площади поперечного сечения воспринимает , составляющий 1/8 от . Такая форма не является рациональной при изгибе балки.

Изменим форму сечения, сохранив его первоначальную площадь (рис. 7.13,в). Используя формулы (7.12), вычислим осевые мо­менты сопротивления до и после изменения формы поперечного се­чения:

; .

Их отношение,  = 1,51. Следовательно, вслед­ствие увеличения  по сравнению с первоначальным , явив­шегося результатом переноса материала из нейтрального слоя на периферию (т.е. без увеличения веса балки), максимальный изги­бающий момент, который может быть воспринят измененным сечени­ем, возрос в 1,51 раза (см. формулу (7.18).

Стремление к рациональному использованию материала балок, привело к созданию прокатных профилей в виде двутавров, швеллеров (рис. 7.14, а, б), клепанных (сварных) металлических и клееных деревянных балок (рис. 7.14, в, г).

Рис. 7.14

 

Возможны исключительные случаи уменьшения прочности балок в результате увеличения площадиихпоперечных сечений. Например, приварив к прямоугольнику полосы сверху и снизу, получают уменьшение  (рис. 7.14,д). Это происходит за счет того, что степень увеличения  при этом меньше степени увеличения . С другой стороны с уменьшением площадей круга и квадрата (рис. 7.14,е,ж) их мо­менты сопротивления  окажутся максимальными.

Рациональность сечений оценивают безразмерным параметром . Сечение при этом считается тем рациональнее, чем больше его . Например, для круга –  = 0,141; для кольцевого сечения   = 0,294 (  = 0,7); для двутавра №20 –  = 1,35.

Балки, материал которых неодинаково работает на растяже­ние и сжатие (хрупкие материалы) и у которых обычно , должны иметь сечения, несимметричные относитель­но нейтральной оси (рис. 7.11, б).

Чтобы балка была равнопрочной в зонах растяжения и сжа­тия, их форма должна удовлетворять условию

                                ,                                 (7.19)

которое вытекает из условий прочности (7.10) и (7.11).

Вопросы для самоконтроля

 

1.Что называется прямым и косым изгибом?

2. Что называет­ся чистым и поперечным изгибом? 

3. Какие внутренние усилия возникают в поперечных сечениях бруса в общем случае действия на него плоской системы сил? 

4. Какие правила знаков приняты для каждого из внутренних усилий? 

5. Как вычисляется изгибаю­щий момент в поперечном сечении бруса? 

6. В каком порядке отроятся эпюры Q и М?

7. Почему при построении эпюр Q и М для балки, заделанной одним концом, можно не определять опор­ные реакции? 

8. Какие дифференциальные зависимости существуют между изгибающим моментом, поперечной силой и интенсивностью распределенной нагрузки, перпендикулярной к оси бруса? 

9. В чем заключается проверка эпюр Q и М? 

10. Как определяется экстремальное значение изгибающего момента? 

11. Как формули­руется гипотеза плоских сечений?

12. Что представляют собой нейтральный слой и нейтральная ось и как они расположены? 

13. Чему равна кривизна оси балки при чистом изгибе?

14. По какой формуле определяются нормальные напряжения в поперечном се­чении балки при чистом изгибе и как они изменяются по высоте балки?

15. Что называется жесткостью сечения при изгибе?  

16. Что называется осевым моментом сопротивления при изгибе и какова его размерность? 

17. По какой формуле определяются нормальные напряжения в поперечных сечениях балки при поперечном изгибе? 

18. Как производится расчет на прочность при пря­мом изгибе балки из пластичного материала, имеющей постоянное по всей длине поперечное сечение? Напишите зависимости для всех трех видов расчета: проверочного, проектного и для рас­чета на определение допускаемой нагрузки. 

19. Какие поперечные сечения являются рацио­нальными для балок из пластичных и хрупких материалов? Как следует располагать эти сечения по отношению к внешней нагрузке?