Тогда, согласно формулам (4.5) и (4.6), получим

           ;

              (4.14)

Подставив (4.13) и (4.14) в (4.11) и (4.12), получим

        ;                         (4.15)

                                         (4.16)

Напомним, что сжимающие главные напряжения подставляются в эти формулы со знаком минус, а угол  отсчитывается от алгебраически большего главного напряжения.

Определим напряжения по площадке, взаимно перпендикулярной с заданной площадкой. В этом случае угол между нормалью  к ней и направлением  составит

                                       .

Подставив в формулы (4.15), (4.16) вместо  угол , получим

           ;                       (4.17)

                                                  (4.18)

Проанализируем полученные формулы. Складывая левые и правые части (4.15) и (4.17), обнаруживаем, что

                                  ,

т.е. сумма нормальных напряжений по двум взаимно перпендикулярным площадкам не зависит от наклона этих площадок и равна сумме главных напряжений.

Из формулы (4.16) или (4.18) видим, что касательные напряжения достигают наибольшей величины при  = ± 45º, причем

            .                           (4.19)

Как и в одноосном напряженном состоянии, также справедлив закон парности касательных напряжений, что подтверждают формулы (4.16) и (4.18).

Обратная задача плоского напряженного состояния. Как мы увидим в дальнейшем, определение главных напряжений является необходимым промежуточным этапом при ведении расчета на прочность в сложном НС. На практике в абсолютном большинстве случаев положение одной из главных площадок в исследуемой точке может быть указано заранее. На ней может быть известно и значение главного напряжения или же это главное напряжение будет равно нулю (плоская задача НС). Рассмотрим условие равновесия треугольной призмы, показанной на рис. 4.7, а.

 

б)

а)

Рис. 4.7

 

Пусть , > 0. Угол  отсчитываем от направления большего напряжения до нормали  к площадке , площадь которой обозначим  (рис. 4.7, б).

Тогда площадь вертикальной грани  будет , а горизонтальной грани  – . Спроектируем все силы, возникающие по граням призмы, на нормаль  и на касательную  к грани :

                 ;                                       

        

          ;

         

Поделив оба уравнения на  и введя функции двойных углов, получим: ;                  (4.20)

                  .                  (4.21)

Так как на главных площадках касательные напряжения отсутствуют, то определим их положение, приравняв нулю формулу (4.21):

                                       (4.22)

где  – угол между направлением большего напряжения  и нормалью к главной площадке, по которой возникает главное напряжение . Направление главного напряжения  будет определяться углом ( + 90º). Третье главное напряжение, перпендикулярное плоскости (рис. 4.7, б) равно нулю.

Для определения  подставим угол  из формулы (4.22) в (4.20) и после преобразований получим:

        .               (4.23)

Следует обратить внимание, что если одно из главных напряжений, вычисленных по формуле (4.23), окажется отрицательным, то их обозначают  и , а = 0; если оба главных напряжения окажутся отрицательными, то их обозначают  и , а = 0.

Следует помнить, что   всегда проходит через квадрант, в котором   сходятся к ребру элемента.

С учетом формул (4.19) и (4.23) максимальные касательные напряжения будут равны:

    .                    (4.24)