Геометрический смысл определённого интеграла.

Если , то интеграл  численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой , прямыми ,  и осью Ox:

.

Замечания. 1) Определённый интеграл зависит только от вида функции  и пределов интегрирования, но не зависит от переменной интегрирования, которую можно обозначить любой буквой:

.

2)

3)

 

Основные свойства определённого интеграла

 

1. Постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла, т.е., если , то

.

2. Определённый интеграл от алгебраической суммы нескольких функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых.

Так, в случае двух слагаемых

.

3. Если на отрезке , где , функции  и  удовлетворяют условию , то

.

4. Если  и  – наименьшее и наибольшее значения функции  на отрезке  и , то

.

Если , то это свойство иллюстрируется геометрически следующим образом:

Площадь криволинейной трапеции  содержится между площадями прямоугольников  и .

5. Теорема о среднем. Если функция  непрерывна на отрезке , то на этом отрезке найдётся такая точка , что справедливо следующее равенство:

.

6. Для любых трёх чисел a, b и c справедливо равенство

,

если только все эти три интеграла существуют.

Геометрическая иллюстрация.

Если  и , то площадь трапеции  равна сумме площадей трапеций  и .

 

Тема 14. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

 

Формула Ньютона-Лейбница

 

Пусть в определённом интеграле  нижний предел  зафиксирован, а верхний предел  меняется. Тогда будет меняться и значение интеграла, т.е. интеграл есть функция верхнего предела. Обозначим эту функцию через :

.

Теорема 1. Если  – непрерывная функция и , то имеет место равенство .

Иными словами, производная от определённого интеграла по верхнему пределу равна подынтегральной функции, в которую вместо переменной интегрирования подставлено значение верхнего предела.

Замечание. Из теоремы 1 следует, что всякая непрерывная функция имеет первообразную. Действительно, если функция  непрерывна на отрезке , то определённый интеграл  существует, т.е. существует функция , но по теореме 1 она является первообразной от .

Теорема 2. Если  есть какая-либо первообразная от непрерывной функции , то справедлива формула

.

Эта формула называется формулой Ньютона-Лейбница.

Доказательство: Пусть  есть первообразная от . По теореме 1  есть также первообразная от . Следовательно,

(так как любые две первообразные от данной функции отличаются на постоянную ).

Пусть x = a, тогда

,

т.е.

.

Получаем

.

При   x = b получим формулу Ньютона-Лейбница:

или

.

Пример: .