Свойства неопределённого интеграла.

1. Производная от неопределённого интеграла равна подынтегральной функции, т.е. если , то и

.

Последнее равенство следует понимать в том смысле, что производная от любой первообразной равна подынтегральной функции.

2. Дифференциал от неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению

.

3. Неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная

.

В частности, , где .

4. Неопределённый интеграл от алгебраической суммы (разности) двух или нескольких функций равен сумме (разности) их интегралов:

.

5. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е. если a= const, то

.

 

Таблица интегралов

 

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
.
10.
.
11.
12.
13.

 

Метод вычисления интегралов, при котором они сводятся к табличным путём применения к ним основных свойств неопределённых интегралов, называется непосредственным интегрированием.

Примеры:

1)

2)

Используем формулу: .

При вычислении неопределённого интеграла часто применяется следующее правило:

Если , то .

Примеры:

1)

2)

 

Интегрирование методом замены переменной

Пусть требуется найти интеграл , причём непосредственно подобрать первообразную для  мы не можем, но нам известно, что она существует.

Сделаем замену переменной в подынтегральном выражении, положив

,

где  - непрерывная функция с непрерывной производной, имеющая обратную функцию. Тогда  и имеет место равенство:

.                                  (7)

Формула (7) называется формулой замены переменной под знаком неопределённого интеграла.

Пример:

Делаем замену , тогда , .

Замечание. При интегрировании иногда целесообразно подбирать замену переменной в виде не , а . Пусть, например, требуется вычислить интеграл . В результате подстановки ,  получаем:

.

Пример:

Замена: , .

 

Интегрирование по частям

Формула интегрирования по частям имеет следующий вид:

 .

Этой формулой обычно пользуются, когда подынтегральное выражение  проще, чем подынтегральное выражение .

Пример:

Замечание. При нахождении  не пишут промежуточную произвольную постоянную , так как она не оказывает влияния на окончательный результат.

Пример:

Правило интегрирования по частям применяется во многих случаях, например, для интегралов вида

,          ,

,               ,                 ,

а также для некоторых интегралов, содержащих логарифмическую, обратные тригонометрические функции и корни.

 

Тема 11. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ