Тема 12. Интегрирование иррациональных и тригонометрических функций

 

Интегралы от иррациональных функций

 

Не от всякой иррациональной функции интеграл выражается через элементарные функции. Рассмотрим те иррациональные функции, интегралы от которых с помощью подстановок приводятся к интегралам от рациональных функций и, следовательно, до конца интегрируются.

1) , где R - рациональная функция своих аргументов (запись  указывает, что над величинами  производятся только рациональные операции).

Пусть k – общий знаменатель дробей . Сделаем подстановку:

.

Тогда каждая дробная степень x выразится через целую степень t и, следовательно, подынтегральная функция преобразуется в рациональную функцию от t.

Пример:

замена:

2)

Этот интеграл сводится к интегралу от рациональной функции с помощью подстановки

,

где k - общий знаменатель дробей .

Пример:

подстановка:

В ходе решения используем разложение дроби  на элементарные дроби:

 

Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций

 

Рассмотрим интегралы от некоторых классов тригонометрических функций. Покажем, что интеграл вида

                                           (1)

с помощью подстановки  всегда сводится к интегралу от рациональной функции.

;

,

.

Таким образом, ,  и  выразились рационально через t. Подставляя полученные выражения в (1), приходим к интегралу от рациональной функции:

.

Пример:

подстановка:

                  

Рассмотренная подстановка даёт возможность проинтегрировать всякую функцию вида . Поэтому она называется «универсальной тригонометрической подстановкой». Однако на практике она часто приводит к слишком сложным рациональным функциям, поэтому применяются другие тригонометрические подстановки.

1) Если интеграл имеет вид , то используется подстановка , , в результате которой получаем .

2)

подстановка: ,

3)

подстановка: , ,

4) Если подынтегральная функция имеет вид , но  и  входят в выражение только в чётных степенях, то применяется та же подстановка , тогда

, , .

После подстановки мы получим интеграл от рациональной функции.

Примеры:

1)

(используем подстановку )

2)

Используем подстановку .

Выделяем целую часть дроби , в результате получаем . Тогда

5)

а) m или n – нечётное число, пусть, например, , тогда

(подстановка: )

Таким образом, получен интеграл от рациональной функции.

Пример:

подстановка:

б) , где m и n - числа неотрицательные и чётные, т.е. , , тогда

Пример:

в) Если m и n – чётные и одно из этих значений – отрицательное, используем подстановку  (или ), как в случае 4.

Пример:

(подстановка: )

6) ,     ,    

Интегралы берутся при помощи тригонометрических формул:

Пример:

 

РАЗДЕЛ 4. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

 

Тема 13. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО СВОЙСТВА