Определение рациональных функций

 

Определение. Рациональной функцией называется отношение двух многочленов  и :

,

где  - многочлен степени n, а  – многочлен степени m.

Примеры:

1) ;             2) ;              3) .

Определение. Если степень числителя выше или совпадает со степенью знаменателя (), то дробь  называется неправильной, в противном случае () дробь  называется правильной.

Примеры: 1-я и 2-я функции – неправильные дроби, 3-я функция – правильная дробь.

Интегрирование дробно-рациональных функций в конечном итоге сводится к интегрированию правильных дробей, так как неправильную дробь выделением целой части можно представить в виде суммы многочлена и правильной дроби.

Примеры:

1)

2) Выделяем целую часть делением в столбик, в результате чего получаем:

Так как интегрирование многочленов не представляет затруднений, то основная трудность при интегрировании рациональных дробей заключается в интегрировании правильных рациональных дробей.

Определение. Правильные рациональные дроби вида

I.

II.

III.  (корни знаменателя комплексные, т.е. )

IV. , (, корни знаменателя комплексные)

называются простейшими дробями I, II, III, IV типов. Никаких других простейших правильных дробей не существует.

 

Интегрирование простейших правильных дробей

Рассмотрим методы интегрирования простейших дробей I, II, III типов.

I.

II.

III.

(подставляем в числитель производную знаменателя  и в знаменателе второй дроби выделяем полный квадрат , где , так как )

Тогда

Пример:

В данном случае производная знаменателя равна .

 

Интегрирование правильных дробей

Рассмотрим правильную дробь , где  – многочлен степени n. Будем считать, что старший коэффициент в  равен единице. В курсе алгебры доказывается, что такой многочлен с действительными коэффициентами может быть разложен на множители первой и второй степени с действительными коэффициентами:

,

где  - действительные корни многочлена , а квадратные трёхчлены не имеют действительных корней. Можно доказать, что тогда  представляется в виде суммы простейших дробей I-IV:

,

где показатели у знаменателей последовательно уменьшаются от  до 1, , от  до 1, от  до 1, , от  до 1, а , ,  - неопределённые коэффициенты.

 

Методы нахождения неопределённых коэффициентов

1) Метод частных значений:

Тогда .

Придаём x переменной определённые значения (корни знаменателя) и находим коэффициенты A и B:

: ,

: ,

В качестве частных значений берём корни знаменателя, получаем:

2) Метод сравнения коэффициентов:

Получаем .

Даём x значение, равное действительному корню знаменателя:

: ,

Сравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x:

при : .

при : .

Получаем