Производные различных порядков

 

Пусть на некотором множестве  определена дифференцируемая функция . Производная  этой функции также является функцией от . Следовательно, можно говорить о производной этой функции, т.е. о производной от первой производной. Если она существует, то её называют производной второго порядка функции  или второй производной от первоначальной функции и обозначают  или :

.

Аналогично, если существует производная от второй производной, то она называется производной третьего порядка или третьей производной и обозначается через или :

.

Производной n-го порядка от функции  называется производная первого порядка от производной -го порядка и обозначается символом  или :

.

Производные четвёртого, пятого и высших порядков обозначаются  или .

Примеры:

1) Найдите  для функции .

Решение. , , , .

2) Найдите  для функции .

Решение. , , , .

Докажем формулу для  методом математической индукции.

Для  получаем , таким образом, формула верна.

Предположим, что формула верна для , т.е. .

Докажем, что формула верна для :

.

Таким образом, формула верна для любого .

Для производных n-го порядка справедливы формулы:

,

,

а также формула Лейбница:

 

.

 

 

Тема 8. ТЕОРЕМЫ О ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЯХ

 

Теорема о корнях производной (теорема Ролля)

 

Теорема Ролля. Если функция :

1) непрерывна на отрезке ;

2) дифференцируема на интервале ;

3) ;

то существует, по крайней мере, одна точка , для которой .

 

Геометрическая иллюстрация.

Если непрерывная кривая, имеющая в каждой точке касательную, пересекает ось Ox в точках  и , то на этой кривой найдётся, по крайней мере, одна точка , в которой касательная параллельна оси Ox.

Замечание 1. Доказанная теорема остается справедливой и для такой дифференцируемой функции, которая на концах отрезка  не обращается в нуль, но принимает равные значения .

Замечание 2. Все три условия теоремы необходимы.

1) Нарушено первое условие, функция  имеет разрыв в точке ,  для всех .

2) Нарушено второе условие теоремы,  не существует,  для всех .

3) Нарушено третье условие теоремы, ,  для всех .

Пример: Проверим, применима ли теорема Ролля к функции  на отрезке . Найдём точку c, в которой .

Функция :

1) непрерывна на отрезке ;

2) дифференцируема на интервале , ;

3) .

Тогда существует точка , такая, что .

В качестве точки c можно выбрать также .

 

Теорема о конечных приращениях (теорема Лагранжа)

 

Теорема Лагранжа. Если функция :

1) непрерывна на отрезке ;

2) дифференцируема на интервале ;

то существует, по крайней мере, одна точка , такая, что

.                                    (1)

Геометрическая иллюстрация.

Из : . Таким образом, если во всех точках дуги AB существует касательная, то на этой дуге найдётся точка C между A и B, в которой касательная параллельна хорде, соединяющей точки A и B.

Пример: Проверьте, применима ли теорема Лагранжа к функции  на отрезке . Если окажется, что теорема применима, найдите точку c, в которой выполняется равенство (1).

Решение. Функция :

1) непрерывна на отрезке ;

2) дифференцируема на интервале .

Тогда существует точка , такая, что выполняется равенство (1).

Находим значения , , , .

По формуле (1) получаем:

Находим корни квадратного уравнения , т.е. . Получаем , , где . Таким образом, .