Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Сравнение бесконечно малых функций
Определение 1. Пусть функции и бесконечно малые при . Если , то бесконечно малая более высокого порядка малости, чем . Если , то и – бесконечно малые одного порядка малости. Если ,то бесконечно малая более низкого порядка малости, чем . Если не существует, то и несравнимые бесконечно малые. Примеры: 1) 2) 3) (вследствие примера 1) 4) - не существует Определение 2. Функцию при называют функцией первого порядка малости; функцию при называют функцией второго порядка малости;
функцию при называют функцией n - го порядка малости. Определение 3. Если , где , бесконечно малые при , то и называются эквивалентными бесконечно малыми при . (обозначение ~ ) Теорема. Пусть функции , , , бесконечно малые при . При этом ~ , ~ при и . Тогда . Доказательство:
ПЕРВЫЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ
Пределы и принято называть первым и вторым замечательными пределами ввиду их важности в дальнейших приложениях. Теорема 1. Предел существует и равен единице. ~ при Доказательство: Рассмотрим единичную окружность, пусть - угол (). , , , , . Получаем неравенство , т.е. . Поделим последнее неравенство на : .
Отсюда следует . (*) Так как и – чётные функции, то неравенство (*) выполняется для , т.е. (*) имеет место в проколотой окрестности . Так как , и выполняется (*), то (по теореме о пределе промежуточной функции). Примеры: 1) ~ при 2) ~ при ~ при ~ при 3) ~ при замена: , , 4) ~ при замена: , ,
ВТОРОЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ
Теорема. Функция стремится при к пределу e: (неопределённость ). Обозначим , . Тогда . Таким образом, .
Некоторые примеры пределов функций. 1) Доказательство: Следствие 1. Пусть , тогда , т.е. ~ при . 2) Доказательство: , замена: , Следствие 2. Пусть , тогда , т.е. ~ при . 3) Доказательство: , , По следствию 1 ~ при . Следствие 3. , т.е. ~ при .
Тема 5. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ
ОДНОСТОРОННИЕ ПРЕДЕЛЫ
Если при нахождении предела рассматривать значения x только слева от точки a, то такой предел называется левым или левосторонним и обозначается
. а если рассматривать значения x только справа от точки a, то такой предел называется правым или правосторонним и обозначается . Из этих определений следует, что если существует предел , (1) то существуют и односторонние пределы, причём . (2) Верно и обратное утверждение: если имеет место (2), то имеет место и (1). Пример: Найти односторонние пределы функции в точке . Существует ли у этой функции предел при ? ; ; - не существует.
НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ.
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-04-12; просмотров: 161; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.145.2.184 (0.019 с.) |