Тема 2. Числовые последовательности. Предел последовательности

 

ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

 

Определение. Бесконечной числовой последовательностью называется числовая функция , определённая на множестве всех натуральных чисел . Её обозначают  или  где .

Число  называется n – м (общим) членом последовательности, а число n – номером члена .

Способы задания числовой последовательности:

1. Задание функции , порождающей последовательность:

                                             (1)

Формулу (1) называют формулой общего члена последовательности. По этой формуле можно вычислить любой член последовательности.

Примеры:

1) .

Тогда  и т.д.

Последовательность имеет вид: .

2) .

Тогда , , ,  и т.д.

Последовательность имеет вид: 0; 1; 0; 1; 0; 1; .

Последовательность, у которой все члены принимают равные между собой значения, называется постоянной последовательностью.

2. Рекуррентный способ задания последовательности, который состоит в том, что указывается правило, позволяющее вычислить общий член последовательности через предыдущие члены, а также задаются несколько начальных членов последовательности. Формула, позволяющая вычислить общий член последовательности через предыдущие члены, называется рекуррентным соотношением.

Пример: .

Тогда ;

      ;

      ;

      ;

     

Последовательность имеет вид: 1; 0; -1; -2; -3; -4;….

3. Последовательность задаётся словесно, то есть описанием её членов.

 

ОГРАНИЧЕННЫЕ И МОНОТОННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

 

Определение 1. Последовательность  называется ограниченной, если существует такое положительное число M, что для любого  выполняется неравенство (то есть ). В противном случае последовательность называется неограниченной.

Примеры:

1) .

Последовательность имеет вид: .

Так как , то . Тогда по определению 1 последовательность  ограничена.

2) .

Последовательность имеет вид: -1; 1; -1; 1; -1; 1; …; ; ….

Так как , то . Тогда по определению 1 последовательность  ограничена.

Определение 2. Последовательность  называется возрастающей, если для любого  выполняется неравенство . Если же , то последовательность  называется строго возрастающей.

Определение 3. Последовательность  называется убывающей, если для любого  имеет место неравенство . Если же , то последовательность  называется строго убывающей.

Все эти последовательности называются монотонными последовательностями.

Пример: Последовательность задана формулой . Тогда . Так как , т.е. , то последовательность  строго убывает.

 

ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Пример: Рассмотрим последовательность . Последовательность имеет вид: . Таким образом,  с возрастанием номера n приближается к 8. Придадим этому утверждению точную математическую формулировку.

Зафиксируем число  и поставим вопрос, каким должно быть n, чтобы модуль  был меньше 0,001?

Для произвольного числа  неравенство

                                            (1)

равносильно неравенству . Так как , то неравенство (1) выполняется для всех , где  – целая часть числа . В этом случае говорят, что предел последовательности  равен 8 и пишут .

Определение 1. Пусть задана числовая последовательность . Число a называется пределом этой последовательности, если для каждого заданного числа  найдётся такое натуральное число N, что для любого номера  выполняется неравенство .

В этом случае пишут .

Иначе,

.

Определение 2. Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, а не имеющая предела – расходящейся.

Теорема 1. Если последовательность имеет предел, то она ограничена.

Доказательство:

Пусть . Зафиксируем некоторое , тогда

.

Таким образом, . Вне интервала  могут оказаться лишь N первых членов последовательности: . Среди чисел  найдём наименьшее и наибольшее и обозначим их соответственно m и M. Тогда . Отсюда последовательность ограничена.

Теорема 2. Всякая сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Доказательство:

Используем метод от противного. Пусть последовательность  имеет два различных предела a и b (для определённости ).

Возьмём , отсюда . Тогда справедливо неравенство:

.                                               (2)

Отсюда , в частности, .

С другой стороны,

.

Отсюда , в частности, .

Получаем  для , где , что противоречит неравенству (2). Теорема доказана.