Теоремы о пределах последовательностей, связанные с арифметическими действиями

 

Теорема 1 (о пределе суммы). Если последовательности  и  сходятся, то их сумма  тоже сходится и предел суммы равен сумме пределов:

.

Доказательство:

Пусть , . Тогда по рассмотренной в предыдущем пункте теореме 3 имеем

,

где  и  при . Следовательно,

,

где  при , так как сумма двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность. Тогда по теореме 3 получаем:

.

Теорема 2 (о пределе произведения). Если последовательности  и  сходятся, то их произведение  сходится и предел произведения равен произведению пределов:

.

Доказательство: Пусть , . Тогда по рассмотренной в предыдущем пункте теореме 3 имеем

,

где  и  при . Следовательно,

,

где  при  (по теоремам 1 и 2 предыдущего пункта). Тогда по теореме 3 получаем:

.

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

.

Доказательство: Пусть , - постоянная, следовательно, . Тогда по теореме о пределе произведения получаем:

.

Следствие 2. Если последовательности  и  сходятся, то их разность  тоже сходится и предел разности равен разности пределов:

.

Доказательство: самостоятельно.

Теорема 3 (о пределе частного). Если последовательности  и  сходятся, причём  и , то их частное  тоже сходится и предел частного равен частному пределов:

.

Доказательство: Пусть , . Тогда , , где  и  при . Следовательно,

,

где  при  (по теоремам 1 и 2 предыдущего пункта). Тогда по теореме 3 получаем:

.

Примеры:

1)

2)

БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

 

Определение. Последовательность  называется бесконечно большой, если для любого  найдётся такой номер , что для всех  верно неравенство . В этом случае пишут .

Теорема. Если последовательность , где , бесконечно большая, то последовательность  бесконечно малая. Верно обратное утверждение: если последовательность  бесконечно малая, то последовательность  бесконечно большая.

Доказательство:

1)  – бесконечно большая последовательность, тогда

.

Зафиксируем :

,

Следовательно, , т.е. последовательность  – бесконечно малая.

2)  - бесконечно малая последовательность, тогда

Положим :

.

Таким образом,  для любого . Отсюда  – бесконечно большая последовательность.

Пример:

Последовательность – бесконечно большая, тогда последовательность  – бесконечно малая и .

 

Тема 3. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

 

Определение 1. Пусть функция  определена в некоторой окрестности точки a, кроме, может быть, самой точки a. Число A называется пределом функции   в точке a (или при x, стремящемся к a), если для любой последовательности допустимых значений аргумента , сходящейся к a (т.е. ), последовательность соответствующих значений функции  сходится к числу A. В этом случае пишут  или  при .

Определение 2. Назовём окрестностью точки c любой интервал , содержащий c, а  – окрестностью точки c интервал , где .

Определение 3. Число A называется пределом функции  при стремлении x к a (или в точке a), если для любого числа  существует такое число , что для всех , удовлетворяющих условию , имеет место неравенство .

Обозначение:  или  при .

Графическая иллюстрация.

Так как из неравенства  следует неравенство , то это означает, что для всех точек x, отстоящих от точки a не далее чем на , точки графика функции  лежат внутри полосы шириной , ограниченной прямыми  и .

Примеры:

1) Доказать, что .

Фиксируем , покажем, что , такое, что для  из условия  следует .Очевидно, .

2) Доказать, что .

Фиксируем , покажем, что , такое, что для всех  из условия  следует .

,

тогда , отсюда .

Найдём : .

Определение 4. Число A называется пределом функции  при стремлении x к бесконечности, если для любого числа  существует такое положительное число N, что для всех x, удовлетворяющих условию  имеет место неравенство . При этом пишут .

Предел функции  при  () определяется аналогично пределу функции  при , только в самой формулировке определения предела функции  при  условие  следует заменить на ().

Справедлива следующая теорема:

Теорема. Функция не может иметь двух разных пределов в точке.