Непрерывность дифференцируемой функции

 

Докажем необходимое условие существования производной.

Теорема. Если функция  имеет производную в точке , то она непрерывна в этой точке.

Доказательство: По определению производной  

Тогда по свойству предела функции получаем , где . Отсюда

.

Находим предел функции  при :

.

Отсюда по определению функция  непрерывна в точке .

Замечания: 1) В точках разрыва функция не имеет производной.

2) Непрерывность функции в точке не является достаточным условием существования производной этой функции в рассматриваемой точке, т.е. из непрерывности функции в точке не следует её дифференцируемость в этой точке.

Пример: Пусть , .

Функция  непрерывна в точке , так как .

Найдём .

Рассмотрим односторонние пределы:

;     .

Отсюда  не существует, т.е. функция  не имеет производной в точке .

 

Производная суммы, разности, произведения и частного функций

 

Теорема 1. Если функции  и  дифференцируемы на некотором интервале, то на этом интервале

т.е. производная суммы (разности) функций равна сумме (разности) производных этих функций.

Теорема 2. Если функции  и  дифференцируемы на некотором интервале, то на этом интервале

.

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак производной, т.е. , где  - дифференцируемая функция.

Теорема 3. Если функции  и  дифференцируемы на некотором интервале и  для любого x из этого интервала, то

.

 

Производные некоторых элементарных функций

1.                                                             9.

2.                                                    10.

3.                                                    11.

4.                                                       12.

5.                                                 13.

6.                                                        14.

7.                                             15.

8.                                                           16.

Пример: Найдите производную функции

Решение. По теореме 1 и следствию из теоремы 2 получаем:

Пример: Найдите производную функции

Решение. По теореме 3 получаем:

 

Производная сложной функции

 

Пусть задана сложная функция , т.е. такая, что её можно представить в виде:

или . В выражении  переменная u называется промежуточным аргументом.

Теорема. Если функция  имеет в некоторой точке x производную , а функция  имеет при соответствующем значении u производную , то сложная функция  в указанной точке x также имеет производную, которая равна

,

где вместо u должно быть подставлено выражение .

Коротко,

,

т.е. производная сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу u на производную промежуточного аргумента по x.

Пример: Дана функция . Найдите .

Решение. Введем промежуточный аргумент u:

Тогда . По правилу дифференцирования сложной функции получаем:

Следствие. Если функция  такова, что её можно представить в виде  то

Пример: Дана функция . Найдите .

Решение. Пусть . Тогда . По рассмотренному выше следствию получаем: