Предельные теоремы теории вероятностей

Предельные теоремы делятся на две группы. Теоремы первой группы, объединенные общим названием “ закон больших чисел ”, устанавливают условия, при которых среднее арифметическое случайных величин приближается к некоторым неслучайным (детерминированным) величинам.

Теоремы второй группы, объединенные общим названием “цент-ральная предельная теорема”, устанавливают условия, при которых закон распределения суммы случайных величин приближается к нормальному закону.

Закон больших чисел

Как показывает опыт, при некоторых сравнительно широких усло­виях сумма достаточно большого числа случайных величин почти утрачи­вает характер случайной величины и может быть предсказана с большой степенью определенности. Это, так называемое, свойство устойчивости массовых случайных явлений объясняется тем, что случайные отклонения от среднего, неизбежные в каждом отдельном опыте, в массе опытов взаимно погашаются. Именно эта устойчивость средних значений и составляет физическое содержание закона больших чисел.

Основными теоремами закона больших чисел являются теоремы Чебышёва и Бернулли. Их доказательство базируется на весьма общей лемме, известной под названием неравенства Чебышëва.

Неравенство Чебышëва

Вероятность того, что отклонение случайной величины Х от ее мате-матического ожидания  по абсолютной величине меньше малого положительного числа ε, больше или равна

 .

Неравенство Чебышëва дает верхнюю оценку для вероятности откло­нения значений случайной величины от своего математического ожидания.

 

     Пусть имеется последовательность независимых случайных величин

                            , , .

Говорят, что последовательность  сходится по вероятности к вели­чине  (случайной или неслучайной), если при любом  имеет место равенство

.

Теорема Чебышëва

 Если  - последовательность попарно независимых случайных величин, дисперсии которых равномерно ограничены одним и тем же пос-тоянным числом С:  , то каково бы ни было малое положительное число , имеет место равенство

,

то есть при  среднее арифметическое случайных величин  сходится по вероятности к их общему математическому ожиданию.

Хотя случайные отклонения отдельных величин X_k от своих мате-матических ожиданий могут быть существенны и разного знака (как больше, так и меньше нуля), но в среднем арифметическом (это тоже случайная величина), они взаимно погашаются. Поэтому при достаточно большом n среднее арифметическое значение случайных величин  практически уже не случайно и с вероятностью, близкой к достоверности, может приниматься в качестве приближенной оценки математического ожидания . Этим и объясняется рекомендуемый в практической деятельности способ многократного измерения изучаемой случайной вели-чины с тем, чтобы получить ее значение, близкое к истинному.

Теорема Бернулли

 Если в каждом из n независимых испытаний вероятность появления события постоянна, то с вероятностью, близкой к достоверности, можно утверждать, что при неограниченном увеличении числа испытаний отно­си­тельная частота W появления события сходится по вероятности к его веро­ятности p:

.

Следовательно, теоремой Бернулли доказывается свойство устойчи-вости относительной частоты, которое раньше (см. пример с многократным подбрасыванием монеты) рассматривалось как эмпирический факт.

Пример. Случайная величина Х имеет нормальное распределение с параметрами a, . Оценить по неравенству Чебышёва . Сравнить с точным значением этой вероятности.

Решение. Из неравенства Чебышёва следует, что

В рассматриваемом случае  следовательно,

.

По точной формуле  имеем

 

Пример. Событие А происходит в каждом опыте с вероятностью 0,2. Оценить (с помощью неравенства Чебышёва) вероятность того, что число появлений события А в 1000 независимых опытов будет заключено в пределах от 200 до 300.

Решение. Число появлений события А в 1000 независимых испы-таний – случайная величина Х  с математическим ожиданием

   и дисперсией .

Наибольшая разность между заданным числом появлений события А и его средним значением М(Х) равна .

Применяя неравенство Чебышёва, получим

        .

Пример. Среднее значение длины детали 50 см, а дисперсия 0,1. Пользуясь неравенством Чебышёва, оценить вероятность того, что случайно взятая деталь окажется по длине не меньше 49,5 см и не больше 50,5 см (в поле допуска).

Решение. По условию .

.

Пример. Оценить вероятность того, что  если Х – дискретная случайная величина, имеющая ряд распределения

                                        

	1	2	3
	0,5	0,3	0,2

 

Решение. Находим М(Х) и D (X):

,

.

Поэтому   .