Зависимые и независимые случайные величины

Случайные величины X и Y  называются независимыми, если закон рас­­пределения каждой из них не зависит от того, какое значение приняла другая величина.

Для независимых случайных величин условные плотности распре-

­де­ления равны их безусловным плотностям, то есть     Поэтому необходимое и достаточное условие независимости случайных величин X  и Y  состоит в том, что для них интегральная функция распределения двумерной случайной величины (X, Y) равна произведению функций распределения составляющих

В частности, для непрерывных двумерных случайных величин

Пример. Имеются две независимые непрерывные случайные величи­ны X  и Y, подчиненные каждая показательному закону

Найти: а) плотность распределения системы; б) интегральную функцию распределения системы.

Решение.

а)

б)

Итак,

Количественными числовыми характеристиками системы двух случайных величин являются так называемые начальные и центральные моменты различных порядков, прежде всего, математическое ожидание, дисперсия и корреляционный момент.

Начальным моментом порядка k, s  системы (X, Y) называется математическое ожидание произведения   на : 

в частности,  - математические ожидания составляющих системы.

Центральным моментом порядка k, s  системы  (X, Y) называется математическое ожидания произведения центрированных величин:

,

 в частности,  - дисперсии составляющих X и Y, ха­­рактеризующие рассеивание случайной точки в направлении осей Ox  и Oy.

Формулы для непосредственного подсчета моментов являются обоб­щением соответствующих формул для одномерных случайных величин.

Для дискретных двумерных случайных величин

Для непрерывных двумерных случайных величин

Особую роль как характеристика системы играет второй смешанный центральный момент , называемый корреляционным моментом (или моментом связи):

.

Для дискретных двумерных случайных величин

Для непрерывных двумерных случайных величин

Корреляционный момент помимо рассеивания случайных величин X  и Y  характеризует зависимость между ними.

Для независимых случайных величин X и Y   Случайные величины, для которых , называются некоррелированными.

Если  то это есть признак наличия зависимости между ними.

На практике для характеристики связи между случайными величинами удобно использовать безразмерную величину

называемую коэффициентом корреляции. Можно показать, что

Коэффициент корреляции служит для характеристики степени тесноты линейной зависимости между случайными величинами. В предельном случае когда величины X и Y связаны между собой линейной функциональной зависимостью  то

Пример. Непрерывная двумерная случайная величина (X, Y) задана плотностью распределения  в квадрате   вне его  Найти математические ожидания и диспер­сии составляющих. Доказать, что величины X  и Y  некоррелированны.

Решение.

Из условия симметрии функции  следует, что

Следовательно, величины X и Y  некоррелированны.