Закон распределения двумерной случайной величины

Законом распределения дискретной двумерной случайной вели­чи­ны (X, Y) называется соотношение между возможными значениями этой величины те есть парами чисел  и соответствующими им вероят­ностями    (i =1,2,…, n;   j =1,2,…, m). Он задается таблично (см. таблицу 2) или аналитически.

                                                                                                 Таблица 2

 

Y	X
			…		…
			…		…
…	…	…	…	…	…	…
					…
…	…	…	…	…	…	…
			…		…

 

Так как события   (i =1,2,…, n; j =1,2,…, m) образуют полную группу, то сумма вероятностей, помещенных во всех клетках таблицы  

Зная закон распределения двумерной случайной величины, можно найти законы распределения каждой из составляющих.

 Действительно, ,  то есть вероятность того, что X  примет значение , равна сумме вероятностей столбца . Аналогично

Интегральной функцией распределения вероятностей двумерной случайной величины (X, Y) называется функция , определяющая для каждой пары чисел  вероятность совместного выполнения двух неравенств   и :

                    

Геометрически это означает, что   равна вероятности попадания случайной точки (X, Y) в полубесконечный квадрант с вершиной , расположенный левее и ниже этой вершины (см. рис.).

 

Свойства

1.

2.  - неубывающая функция обоих своих аргументов, то есть

3. Предельные соотношения:

4.   то есть при значении аргумента  функция распределения системы становится функцией распределения случайной величины, соответствующей другому аргументу.  Аналогично

Зная функцию распределения двумерной случайной величины, мож­но найти вероятность попадания в прямоугольную область

 

Функция , равная второй смешанной частной произ­водной от интегральной функции распределения системы двух случайных величин, называется двумерной плотностью вероятностей (или плотностью распределения системы).

,

то есть плотность распределения системы равна пределу отношения веро­ятности попадания в малый прямоугольник к площади этого прямоуголь­ника, когда длины обеих сторон стремятся к нулю.

График  называют поверхностью распределения.

Вероятность попадания случайной точки (X, Y) в область D   равна

Зная двумерную плотность вероятностей, можно найти инте­граль­ную функцию распределения системы по формуле

Свойства

1. , то есть  - функция неотрицательная.

2.  то есть объем тела, ограниченного поверхностью распределения и плоскостью ,  равен единице.

3. Если возможные значения , то

Зная закон распределения системы, можно найти закон распре­де­ления каждой из составляющих системы по формулам

Для решения обратной задачи – отыскания закона распределения системы по известным законам распределения составляющих X и Y необ­ходимо знать зависимость между этими величинами. Эта зависимость в общем случае характеризуется с помощью так называемых условных законов распределения.