Неизвестном среднем квадратическом отклонении

До сих пор объем выборочной совокупности предполагался достаточно большим. Поэтому оценки генеральной средней считались распределенными по нормальному закону. Однако на практике часто приходится иметь дело с выборками небольшого объема (n < 20 - 30). Оказывается, что заключения, аналогичные полученным при рассмотрении выборок большого объема, возможны и в случае малых выборок, если в генеральной совокупности рассматриваемый признак распределен по нормальному закону.

Пусть имеется генеральная совокупность практически неограниченно большого объема N, из которой образуется малая выборка объема n. В этом случае бесповторная выборка практически совпадает с повторной, так как величины   и   очень мало отличаются от единицы.

Среднее квадратическое отклонение выборочной средней  можно записать в виде ,  где  - исправленная дисперсия малой выборки.

Рассмотрим случайную величину   (ее возможные значения будем обозначать через t). Можно доказать, что величина T распределена по закону Стьюдента с k = n -1 степенями свободы.

 Плотность вероятностей распределения Стьюдента равна         

,

где                                                                                                       

,  - гамма-функция.

В частности, при целочисленном аргументе

Распределение Стьюдента определяется одним параметром  - числом степеней свободы и не зависит от неизвест­ных a и  что явля­ется его большим достоинством.

Для закона распределения Стьюдента математическое ожидание и дисперсия соответственно равны:

Кривые распределения   при  различных  значениях   k показаны на рисунке.

 

Как видно, кривые распределения Стьюдента по форме напоминают плотность нормального распределения, но при   значительно мед­лен­нее приближаются к оси абсцисс. При  распределение Стью­дента приближается к нормальному.

Распределение Стьюдента играет большую роль в так называемой микростатистике (статистике малых выборок).

Как известно, если плотность вероятностей ƒ(x) – четная функ­ция, и концы интервала симметричны относительно начала координат, то   

.

Так как функция S (t, n) четная по аргументу t, то

или

.

Величины  и  табулированы. Пользуясь таблицами распределения Стьюдента, по заданным n и γ можно найти t _γ  (см. Приложение 3)_.

Итак, доверительный интервал   с надежностью γ накрывает неизвестное математическое ожидание .

Пример. Произведено 8 независимых опытов над случайной величиной X,  распределенной нормально с неизвестными параметрами   и . Результаты опытов приведены ниже.

	1	2	3	4	5
	1	2	2	2	1

Построить доверительный интервал для математического ожидания  с надежностью γ = 0,95.

По данным опытов находим 

  

 По таблице Приложения 3 для n = 8 и γ = 0,95 находим   Поэтому

     

Следовательно,  с надежностью γ = 0,95 заключено в интервале 1,904< <4,096.

Пример. Для определения скорости автомобиля было проведено 5 испытаний, по результатам которых вычислена средняя скорость  м/с. Найти 95%-ый доверительный интервал, если известно, что рассеивание скорости подчинено нормальному закону со средним квадратическим отклонением  м/с.

При n = 5 и  по таблице Приложения 3 находим   Вычисляя границы доверительного интервала, получим:

В результате