Концентрация электронов и дырок в области

Пространственного заряда

 

Рассчитаем, как меняется концентрация электронов и дырок в области пространственного заряда. Для определенности рассмотрим полупроводник n ‑типа. В условиях термодинамического равновесия концентрация основных n _n0 и неосновных p _n0 носителей выражается следующим образом (3.1):

,

поскольку E _C – F + q j _0n = E _g/2.

Обозначим , тогда

                       .                           (3.1)

                                                                                                                

Для области пространственного заряда объемное положение уровня Ферми j (x) меняется от точки к точке: j (x) = j _0n – ψ (x), как и концентрация основных n _n0(x) и неосновных p _0n(x) носителей.

С учетом зависимости j (x) = j _0n – y (x) выражения для концентраций будут:

                            ,

,

.            (3.2)

Величины n _s и p _s – концентрации электронов и дырок на поверхности – носят названия поверхностных концентраций:

.              (3.3)

Образование и зонная диаграмма р-n перехода

 

Электронно‑дырочным, или p ‑ n переходом, называют контакт двух полупроводников одного вида с различными типами проводимости (электронным и дырочным). Классическим примером p ‑ n перехода являются: nSi – pSi, nGe – pGe.

Рассмотрим контакт двух полупроводников n ‑ и p ‑типа. Величина работы выхода Ф определяется расстоянием от уровня Ферми до уровня вакуума. Термодинамическая работа выхода в полупроводнике p ‑типа Ф _p всегда больше, чем термодинамическая работа выхода Ф _n в полупроводнике n ‑типа:

 

.

 

При контакте полупроводников n ‑ и p ‑типов вследствие различного значения токов термоэлектронной эмиссии (из-за разных значений работы выхода) поток электронов из полупроводника n ‑типа в полупроводник p ‑типа будет больше. Электроны из полупроводника n ‑типа будут при переходе в полупроводник p -типа рекомбинировать с дырками. Вследствие несбалансированности токов в полупроводнике n ‑типа возникнет избыточный положительный заряд, а в полупроводнике p ‑типа – отрицательный. Положительный заряд обусловлен ионизованными донорами, отрицательный заряд – ионизованными акцепторами. Вследствие эффекта поля произойдет изгиб энергетических зон в полупроводниках n ‑ и p ‑типов, причем в полупроводнике p -типа на поверхности термодинамическая работа выхода будет уменьшаться, а в полупроводнике n ‑типа на поверхности термодинамическая работа выхода будет увеличиваться. Условию термодинамического равновесия соответствуют равные значения токов термоэлектронной эмиссии с поверхности полупроводников p ‑ и n ‑типов, а следовательно, и равные значения термодинамической работы выхода.

На рисунке 3.3 приведены зонные диаграммы, иллюстрирующие этапы формирования электронно‑дырочного перехода [1]. Граница областей донорной и акцепторной примеси в полупроводнике получила название металлургического p ‑ n перехода. Границу, где уровень Ферми пересекает середину запрещенной зоны, называют физическим p ‑ n переходом.

 

       Рис. 3.3. Схема, иллюстрирующая образование p ‑ n перехода

3.4. Распределение свободных носителей в p ‑ n переходе

 

Рассмотрим несимметричный p ‑ n переход, будем считать, что концентрация акцепторов больше, чем концентрация доноров N _A > N _D; в этом случае для объемного положения уровня Ферми получаем j _n < j _p. В условиях равновесия (V _G= 0) высота потенциального барьера p ‑ n перехода будет:

                .                           (3.4)

Рассмотрим распределение свободных носителей – электронов и дырок в области пространственного заряда p ‑ n перехода. Для квазинейтрального объема полупроводников

.                  (3.5)

Для области пространственного заряда эти соотношения трансформируются таким образом, что j _0p и j _0n становятся зависимыми от координаты x, то есть j _0p(x) и j _0n(x). Следовательно, и концентрации электронов и дырок в области пространственного заряда тоже будут зависеть от координаты x: p _p(x), n _p(x), n _n(x), p _n(x).

 

  (3.6)

 

Рассмотрим, как меняется концентрация основных и неосновных носителей в ОПЗ полупроводника p -типа. В p ‑ n -переходе величина j _p квазилинейно уменьшается, поэтому концентрация дырок p _p будет экспоненциально убывать. Уровень Ферми совпадает с серединой запрещенной зоны у физического p ‑ n перехода (j _p = 0), в этой точке концентрация дырок становится равной собственной концентрации, т.е. p _p = n _i.

 

       Рис. 3.4. p‑n -переход в равновесных условиях:

а) распределение равновесных носителей;

б) диаграмма, иллюстрирующая распределение доноров и акцепторов

 

Для электронов аналогично получаем, что величина концентрации электронов n _p(x) возрастает экспоненциально и также равна собственной концентрации в области физического p ‑ n перехода.

Аналогично меняется концентрация основных n _n(x) и неосновных p _n(x) носителей в ОПЗ полупроводника n -типа.

На рис. 3.4 показано распределение концентрации носителей в несимметричном p ‑ n переходе в логарифмическом масштабе и схема p ‑ n перехода.

Таким образом, из рис. 3.4. следует, что в несимметричных p ‑ n -переходах физические и металлургические p ‑ n -переходы пространственно не совпадают. Распределение концентрации основных и неосновных носителей симметрично относительно линии, соответствующей собственной концентрации n _i.

 

3.5. Поле и потенциал в p ‑ n переходе

 

Связь электрического поля и потенциала в p ‑ n переходе описывается уравнением Пуассона. В одномерном приближении это уравнение имеет вид:

,                        (3.7)

где y (x)– зависимость потенциала от координаты;

r (x) – плотность объемного заряда;

e _s – диэлектрическая проницаемость полупроводника;

e ₀ – диэлектрическая постоянная.

Для рассмотрения этого уравнения выберем начало координат в области металлургического p ‑ n -перехода. При этом донорный полупроводник будет находиться в области x > 0 (в дальнейшем обозначим цифрой I), а акцепторный – в области x < 0 (в дальнейшем обозначим цифрой II).

Заряд в области пространственного заряда p ‑ n перехода для полупроводника n ‑типа обусловлен зарядом ионизованных доноров с плотностью N _D⁺_, для полупроводника p ‑типа – зарядом ионизованных акцепторов с плотностью N _A⁺. Поэтому для области I , для области II . Будем решать уравнение Пуассона отдельно для областей I и II. После интегрирования уравнения Пуассона получаем:

для области I

                         ,                      (3.8)

                                                                                                                

для области II

                         .                           (3.9)

 

Знак минус в выражениях (3.8 и 3.9) указывает, что направление электрического поля противоположно направлению оси x.

Электрическое поле Е максимально на металлургической границе p ‑ n перехода (x = 0), линейно спадает по области пространственного заряда и равно нулю на границах ОПЗ – квазинейтральный объем полупроводника (x = W _n; x = W _p):

 

                           .                               (3.10)

 

Максимальная величина электрического поля E _max будет равна:

 

    .                     (3.11)

 

Для нахождения распределения потенциала (а следовательно, и зависимости потенциальной энергии от координаты) проинтегрируем уравнение (10) при следующих граничных условиях: x = W, y (W) = 0. Получаем:

.              (3.12)

Используя граничные условия , находим константу интегрирования:

.

Подставляя полученные значения константы в соотношение (3.12), получаем для распределения потенциала y (x) в области x < 0.

 

.

 

Проводя аналогичное интегрировнаие для области x > 0, получаем:

.                   (3.13)

 

Используя граничные условия ; для константы интегрирования в этой области получаем:

 

          ,

 

Подставляя полученные значения константы в соотношение (3.13), получаем для распределения потенциала y (x) в области x > 0:

.    (3.14)

 

Таким образом, закон изменения потенциала y в p ‑области (отсчет идет от уровня в квазинейтральной области):

 

                   , x < 0,

 

и наоборот, в n ‑области:

 

                  , x > 0.

 

На рис. 3.5 приведена диаграмма, иллюстрирующая распределение электрического поля и потенциала в p ‑ n -переходе, рассчитанная по соотношениям (3.8), (3.9), (3.12) и (3.14).

Рис. 3.5. Диаграмма, иллюстрирующая распределение электрического поля и потенциала в p ‑ n переходе: а) структура p ‑ n перехода; б) распределение электрического поля в ОПЗ; в) распределение потенциала в ОПЗ

 

На металлургической границе p ‑ n перехода при x = 0 значение потенциала y ₁ + y ₂ = D j ₀= j _n0 + j _p0, или

 

.                             (3.15)

 

Согласно уравнению электронейтральности в замкнутых системах величины положительного и отрицательного заряда на единицу площади должны быть равны:

.

Следовательно,

.                                                 (3.16)

.

                     

 

Несложные преобразования позволяют получить выражение для ширины обедненных областей W _p и W _n в p ‑ и n ‑областях соответственно:

 

  .              (3.17)

 

Из предыдущих формул легко видеть, что с ростом легирования p ‑области ширина p ‑ n перехода W _p в акцепторной части полупроводника уменьшится.

Полная ширина p ‑ n перехода W, равная W = W _p + W _n, будет:

 

.                           (3.18)

 

Для несимметричных p ⁺ ‑ n переходов (концентрация акцепторов существенно больше концентрации доноров) ширина обедненной области в полупроводнике p ‑типа будет существенно меньше, чем ширина обедненной области в полупроводнике n ‑типа:

 

.

 

Таким образом, вся обедненная область p ⁺ ‑ n перехода сосредоточена в области с низким значением легирующей концентрации W = W _n.

3.6. Вольт‑амперная характеристика р‑n-перехода

 

Получим вольт-амперную характеристику p ‑ n перехода. Для этого запишем уравнение непрерывности в общем виде:

 

.

Будем рассматривать стационарный случай .

Рассмотрим ток в квазинейтральном объеме полупроводника n -типа справа от обедненной области p ‑ n перехода (x > 0). Темп генерации G в квазинейтральном объеме равен нулю: G = 0. Электрическое поле E тоже равно нулю: E = 0. Дрейфовая компонента тока также равна нулю: I _E = 0, следовательно, ток диффузионный . Темп рекомбинации R при малом уровне инжекции описывается соотношением:

.                                         (3.19)

Воспользуемся следующим соотношением, связывающим коэффициент диффузии, длину диффузии и время жизни неосновных носителей: D t = L _p².

С учетом отмеченных выше допущений уравнение непрерывности имеет вид:

.                               (3.20)

Граничные условия для диффузионного уравнения в p - n переходе имеют вид:

при x = 0, ; при x → ∞, . (3.20 а)

 

Решение дифференциального уравнения (3.20) с граничными условиями (3.20 а) имеет вид:

.                              (3.21)

 

Соотношение (3.21) описывает закон распределения инжектированных дырок в квазинейтральном объеме полупроводника n ‑типа для электронно-дырочного перехода (рис. 3.6). В токе p ‑ n -перехода принимают участие все носители, пересекшие границу ОПЗ с квазинейтральным объемом p ‑ n -перехода. Поскольку весь ток диффузионный, подставляя (3.21) в выражение для тока, получаем (рис. 3.7):

.                         (3.22)

Рис. 3.6. Распределение неравновесных инжектированных из эмиттера носителей по квазинейтральному объему базы p ‑ n перехода

 

Соотношение (3.22) описывает диффузионную компоненту дырочного тока p ‑ n перехода, возникающую при инжекции неосновных носителей при прямом смещении. Для электронной компоненты тока p ‑ n -перехода аналогично получаем:

.

При V _G = 0 дрейфовые и диффузионные компоненты уравновешивают друг друга. Следовательно,

.

Полный ток p ‑ n -перехода является суммой всех четырех компонент тока p ‑ n -перехода:

 

.                       (3.23)

 

Выражение в скобках имеет физический смысл обратного тока p ‑ n перехода. Действительно, при отрицательных напряжениях V _G < 0 ток дрейфовый и обусловлен неосновными носителями. Все эти носители уходят из цилиндра длиной L _n со скоростью L _n/ t _p. Тогда для дрейфовой компоненты тока получаем:

 

.

 

Если требуется реализовать условие односторонней инжекции (например, только инжекции дырок), то из соотношения (23) следует, что нужно выбрать малое значение концентрации неосновных носителей n _p0 в p ‑области. Отсюда следует, что полупроводник p ‑типа должен быть сильно легирован по сравнению с полупроводником n ‑типа: N _A >> N _D. В этом случае в токе p ‑ n -перехода будет доминировать дырочная компонента (рис. 3.7).

Рис. 3.7. Токи в несимметричном p ‑ n -nереходе при прямом смещении

 

Таким образом, ВАХ p ‑ n -перехода имеет вид (рис. 3.8):

 

.                              (3.24)

Плотность тока насыщения J _s равна:

 

.            (3.25)

Рис. 3.8. Вольт‑амперная характеристика идеального p ‑ n перехода

 

Вольт‑амперная характеристика идеального p ‑ n -перехода имеет ярко выраженный несимметричный вид. В области прямых напряжений ток p ‑ n перехода диффузионный и экспоненциально возрастает с ростом приложенного напряжения. В области отрицательных напряжений ток p ‑ n перехода – дрейфовый и не зависит от приложенного напряжения.

Зависимость обратного тока насыщения от температуры выражается следующим уравнением:

,

где E_g0=eU_g0 - ширина запрещенной зоны при Т=0 К; U_T= kT/e – температурный потенциал. Для германия h=1; m=2; U_g0=0,785 B. Для кремния h=2; m=1,5; U_g0=1,21 B.

 

3.7. Емкость p ‑ n перехода

Любая система, в которой при изменении потенциала j меняется электрический заряд Q, обладает емкостью. Величина емкости С определяется соотношением: .

Для p ‑ n -перехода можно выделить два типа зарядов: заряд в области пространственного заряда ионизованных доноров и акцепторов Q _B и заряд инжектированных носителей в базу из эмиттера Q _p. При различных смещениях на p ‑ n переходе при расчете емкости будет доминировать тот или иной заряд. В связи с этим для емкости p ‑ n перехода выделяют барьерную емкость C _B и диффузионную емкость C _D.

Барьерная емкость C _B – это емкость p ‑ n -перехода при обратном смещении V _G < 0, обусловленная изменением заряда ионизованных доноров в области пространственного заряда.

.                                            (3.26)

Величина заряда ионизованных доноров и акцепторов Q _B на единицу площади для несимметричного p ‑ n -перехода равна:

 

.        (3.27)

Дифференцируя выражение (3.27 ), получаем:

 

.                          (3.28)

 

Из уравнения (3.28) следует, что барьерная емкость C _B представляет собой емкость плоского конденсатора, расстояние между обкладками которого равно ширине области пространственного заряда W. Поскольку ширина ОПЗ зависит от приложенного напряжения V _G, то и барьерная емкость также зависит от приложенного напряжения. Численные оценки величины барьерной емкости показывают, что ее значение составляет десятки или сотни пикофарад.

Диффузионная емкость C _D – это емкость p ‑ n -перехода при прямом смещении V _G > 0, обусловленная изменением заряда Q _p инжектированных носителей в базу из эмиттера Q _p.

_,

,

.

 

Зависимость барьерной емкости С _B от приложенного обратного напряжения V _G используется для приборной реализации. Полупроводниковый диод, реализующий эту зависимость, называется варикапом. Максимальное значение емкости варикап имеет при нулевом напряжении V _G. При увеличении обратного смещения емкость варикапа уменьшается. Функциональная зависимость емкости варикапа от напряжения определяется профилем легирования базы варикапа. В случае однородного легирования емкость обратно пропорциональна корню из приложенного напряжения V _G. Задавая профиль легированияв базе варикапа N _D(x), можно получить различные зависимости емкости варикапа от напряжения C (V _G) – линейно убывающие, экспоненциально убывающие.