Расчет основных параметров легированного полупроводника

Закон действующих масс

 

При большинстве значений температуры, представляющих для нас интерес, имеется тепловая энергия, достаточная для того, чтобы возбудить некоторое количество электронов из валентной зоны в зону проводимости. Существует динамическое равновесие, при котором некоторые электроны постоянно находятся в возбужденном состоянии в зоне проводимости, в то время как другие теряют энергию и переходят обратно через запрещенную зону в валентную зону. Возбуждение электронов из валентной зоны в зону проводимости соответствует генерации дырки и электрона, а переход электрона обратно через запрещенную зону соответствует рекомбинации электрона и дырки, так как при этом аннигилирует оба носителя.

Концентрация носителей в собственном материале зависит от температуры, так как источником возбуждения носителей через запрещенную зону является тепловая энергия. Концентрация носителей в собственном материале зависит также от ширины запрещенной зоны, так как через более широкую зону может быть возбуждено меньшее количество электронов. Мы вскоре сможем показать, что в большинстве случаев величина  может быть задана выражением

 

                              ,                      (2.1)

 

где и  связаны с плотностью разрешенных состояний вблизи краев зоны проводимости и валентной зоны соответственно. Хотя и  несколько меняеюся с температурой, величина  зависит от температуры немного сильнее благодаря наличию в уравнении (2.1) экспоненциального члена.

 

                                                                      (2.2)

 

Соотношение (2.2) выполняется как для собственных, так и для примесных полупроводников. Оно показывает, что увеличение числа электронов в образце вследствие введения доноров приводит к уменьшению концентрации дырок так, чтобы произведение  оставалось постоянным. Этот результат часто называют з аконом действующих масс.

 

 

Уровень Ферми

 

Число свободных носителей (электронов и дырок) в любом макроскопическом образце полупроводника сравнительно велико. Обычно оно достаточно велико для того, чтобы можно было воспользоваться для определения физических свойств полупроводника законами статистической механики*. Одно из важных свойств электронов в кристаллах – это их распределение при тепловом равновесии по разрешенным энергетическим состояниям. Фундаментальное рассмотрение того, как разрешенные энергетические состояния занимаются частицами, подчиняющимися принципу Паули, приводит к выводу функции распределения электронов по энергиям, называемой функцией распределения Ферми – Дирака. Эта функция обозначается, как . Она имеет вид

 

                        ,                   (2.3)

 

где величина  называется энергией Ферми или уровнем Ферми. Из уравнения (2.3) следует, что  всегда равно . Функция Ферми – Дирака, часто называемая просто функцией Ферми, описывает вероятность того, что состояние с энергией  занято электроном.

Выражение для концентрации носителей в зоне проводимости, содержащее уровень Ферми:

 .                    (2.4)

Аналогичным образом в слаболегированном материале p -типа уровень Ферми располагается намного выше верхнего края валентной зоны и

                      ,                  (2.5)

где − это расстояние от нижнего края зоны проводимости до уровня Ферми и − расстояние от уровня Ферми до верхнего края валентной зоны. Величины  и  называются эффективными плотностями состояний, у краев зоны проводимости и валентной зоны соответственно. Они задаются выражениями:

 

                           ,                      (2.6)

                           ,                        (2.7)

где  и  - эффективные массы электрона и дырки соответственно.

В собственном полупроводнике , поэтому , и уровень Ферми расположен вблизи середины запрещенной зоны: . Мы обозначим собственный уровень Ферми . Подобно тому, как величина  полезна при определении соотношений между концентрациями носителей даже в примесном полупроводнике (уравнение (2.2)), величина  часто используется в качестве опорного уровня при рассмотрении свойств примесных полупроводников.

 

                (2.8)

 

В частности, выражение для концентрации носителей n и p в примесном полупроводнике (уравнения (2.4) и (2.5)) можно переписать в виде выражений, содержащих собственную концентрацию носителей и собственный уровень Ферми:

                    ,                     (2.9)

                          .                    (2.10)

Таким образом, расстояние от уровня Ферми до собственного уровня Ферми является мерой того, насколько полупроводник отличается от собственного материала.

Очень сильно легированные полупроводники (  или ) называются вырожденными, так как у них уровень Ферми находится в зоне проводимости или в валентной зоне. В этих полупроводниках разрешенные для электронов состояния располагаются, как в металлах, очень близко к уровню Ферми и, следовательно, многие электронные свойства полупроводников при очень сильном легировании вырождаются в свойства металлов.

Часто, однако, тепловое равновесие нарушается под влиянием падающего излучения или напряжения, приложенного к p - n -переходам. Для анализа этих неравновесных случаев полезно ввести два связанных параметра, получивших название квазиуровней Ферми *.

Определим квазиуровень Ферми для электронов  (и соответствующий ему квазипотенциал Ферми ) и квазиуровень Ферми для дырок  (и соответствующий потенциал ) как

 

 (2.11)

      (2.12)

 

где  − потенциал, соответствующий , . При неравновесных условиях произведение  не равно термически равновесному значению , а зависит от расстояния между двумя квазиуровнями Ферми. Из уравнений (2.11) и (2.12) можно получить

 

 .                       (2.13)

 

Поэтому расстояние между двумя квазиуровнями Ферми представляет собой меру отклонения популяции свободных носителей в полупроводнике от теплового равновесия. При тепловом равновесии это расстояние равно нулю.

Понятие квазиуровней Ферми особенно полезно при рассмотрении фотопроводимости, когда избыточные электроны и дырки генерируются фотонами.

 

2.3. Подвижность и рассеяние

 

На рисунке 2.1 приведены данные по зависимости подвижности носителей заряда для различных материалов.

Рис. 2.1. Подвижность электронов и дырок при 300К в зависимости от суммарной концентрации примесей

  

В слаболегированном материале подвижность, обусловленная рассеянием на ионизированных примесях, выше подвижности, обусловленной рассеянием на колебаниях решетки. Поэтому для кремния с концентрацией примесей менее примерно 10¹⁵ см^-3 подвижности электронов и дырок остаются почти постоянными при изменении концентрации легирующих примесей. Однако при более высоких концентрациях примесей рассеяние ионизированными примесями становится сравнимым с рассеянием, обусловленным колебаниями решетки, и суммарная подвижность уменьшается.

Важное практическое следствие зависимости подвижности от суммарной концентрации примесей наблюдается, если в полупроводнике происходит конверсия от одного типа проводимости к другому (от р к п или от п к р) путем компенсации уже имеющихся атомов легирующей примеси. Концентрация носителей зависит от разности концентраций двух типов легирующих примесей , рассеяние же зависит от суммы концентраций ионизированных примесей . Поэтому подвижности в компенсированном полупроводнике могут быть заметно меньше, чем в компенсированном материале, имеющем ту же самую концентрацию носителей.

Температурная зависимость. Различные механизмы рассеяния, влияющие на подвижность свободных носителей, различным образом зависит от температуры. Так, например, рассеяние ионизированными примесями становится менее эффективным по мере повышения температуры, так как более подвижные носители менее эффективно взаимодействуют с неподвижными примесями. Однако рассеяние на колебаниях решетки (соударения с фононами) при более высоких температурах становится более эффективным. По этой причине при пониженных температурах с увеличением температуры наблюдается характерный рост подвижности (так как преобладает рассеяние на примесях), тогда как при более высоких температурах подвижность падает (так как преобладает соударения с фононами). Эти конкурирующие механизмы приводят к тому, что на кривой температурной зависимости подвижности имеется характерный максимум. В максимуме подвижности два механизма температурной зависимости сбалансированы, и наблюдается минимальная температурная чувствительность подвижности.

Для анализа и проектирования приборов могут понадобиться уравнения, отражающие зависимость подвижности от температуры и концентрации легирующих примесей. Такие выражения были получены эмпирическим путем для кремния. Они имеют следующий вид:

 

         ;                             

 ,                      (2.14)

где , T – температура по шкале Кельвина, а N – суммарная концентрация легирующих примесей в кремнии. Формулами (2.14) можно пользоваться при концентрациях примесей до 10²⁰ см^-3 и для температур от 250 до 500 К.

Проводимость полупроводника:

 

                                                (2.15)

 

Параметры чистого кремния при Т=300 К приведены в табл. 2.1.

 

Параметр	Обозначение	Si
Ширина запрещенной зоны – при 300 К, эВ – при 0 К, эВ	Eg Eg	1,124 1,170
Собственная концентрация носителей, см^-3	ni	1.45 ∙ 10^10
Решеточная подвижность, м^2/(В∙с) – электронов; – дырок.	μ n μ p	1417 471
Эффективная плотность состояния, см^-3 – в зоне проводимости; – в валентной зоне.	Nc Nv	2,8 ∙ 10^19 1,04 ∙ 10^19

 

Собственная концентрация носителей заряда и ширина запрещенной зоны кремния для температуры, отличной от 300 К, могут быть вычислены по формулам

 

 ;                   (2.16)

 .                          (2.17)