Расчет концентрационных профилей

 

Введение

    Диффузия − это перенос вещества, массы. Формальное сходство между некоторыми процессами переноса (например, теплопроводностью и диффузией) выражается в совпадении уравнений, описывающих процесс.

    Диффузией обычно называют процесс самопроизвольного выравнивания концентрации. Строго говоря, это не верно. Истинной причиной, вызывающей перемещение частиц (атомов, молекул, вакансий) при диффузии, является разница химических потенциалов в различных точках системы, а не концентраций. Однако, при описании процесса и анализе механизмов переноса удобнее ограничиться представлениями о градиенте концентрации как единственной движущей силой диффузионного переноса.

    Значение диффузии определяется, по крайней мере, тремя обстоятельствами. Во-первых, диффузия является процессом элементарным в том смысле, что она осуществляется благодаря перемещениям отдельных частиц (атомов, ионов, молекул), т.е. на атомном уровне. Поэтому изучение диффузии является полезным и во многих отношениях уникальным инструментом для исследования структуры кристаллов, дефектов решетки и т.д.

    Во-вторых, диффузия является одним из наиболее общих процессов в твердых телах. Диффузия происходит в чистых металлах и металлических сплавах, окислах и интерметаллидах, диэлектриках и полупроводниках, в широком диапазоне температур и внешних условий.

    Наконец, в третьих (по счету, но не по значению), диффузия играет ведущую роль во многих процессах, определяющих структуру и свойства материалов. Среди них можно назвать легирование, кристаллизацию, фазовые превращения, процессы выделения из твердого раствора и коагуляции, спекание порошковых материалов, многие специфические процессы в полупроводниках (p - n -переходы) и т.д. Особенно следует выделить роль диффузии в пластической деформации при высоких температурах и разрушении металлов в связи с ростом требований к жаропрочности материалов.

    Для успешного решения возрастающего числа нерешенных вопросов, связанных с подвижностью атомов, необходимо более широкое изучение процессов диффузии не только в обычных условиях, но также и в условиях, связанных с различными внешними воздействиями – облучение потоками заряженных частиц, наличие внешних электрических и магнитных полей и др. Полученная в процессе такого изучения новая информация окажет неоценимую помощь при разработке многих проблем физики твердого тела.

        

Механизмы диффузии

    Величины, входящие в уравнения диффузии, приобретают конкретное физическое содержание в том случае, если известен механизм диффузии или, по крайней мере, о нем высказаны какие-либо предположения.

    Возможные механизмы диффузии (рис. 1.1):

1. Простой обмен.

2. Циклический обмен.

3. Вакансионный.

4. Простой междоузельный.

5. Междоузельный механизм вытеснения.

6. Краудионный.

Рис. 1.1. Механизмы диффузии

 

Обменный механизм (1) заключается в том, что два соседних атома меняются местами. Очевидно, что вероятность такого обмена в плотно упакованной решетке очень мала по сравнению с вероятностью перемещения, в котором участвует только один атом (3). Циклический (или кольцевой) обменный механизм (2) имеет несколько большую вероятность в кристалле, чем простой обменный (1).

    При движении по механизму вытеснения (5) атом попадает в междоузлие, затем выталкивает ближайшего соседа из узла, становится на его место, вытесненный атом выталкивает следующего соседа и т.д. При движении по этому механизму в отличие от обычного междоузленного (4) в элементарном акте участвует не дин, а два атома. После каждого элементарного акта в междоузлии оказывается новый атом. Искажения решетки при таком перемещении и, следовательно, энергия активации диффузии существенно меньше, чем при движении непосредственно по междоузлиям одного и того же атома.

    Краудион (от английского crowdion – скопление, толпа) – это группа атомов, сжатая (обычно вдоль направления плотной упаковки) за счет наличия в ряду лишнего атома (6). Диффузия происходит благодаря небольшим смещениям каждого атома ряда вдоль этого направления. Таким образом, перемещение при краудионном механизме диффузии сродни распространению волны: каждый атом смещается мало, а возмущение распространяется быстро. Естественно, что этот процесс имеет сравнительно низкую энергию активации. Краудионный механизм играет заметную роль при отжиге радиационных дефектов, а также при переносе вещества под действием напряжений, создающих локальную деформацию кристалла.

 

Уравнения диффузии

При свободной диффузии и наличии внешних движущих сил основное диффузионное уравнение в общем виде имеет следующий вид (первый закон Фика для стационарного потока):

                                                     (1.1)

,                                               (1.2)

где J, и v – векторы потока, градиента концентрации и средней скорости дрейфа диффундирующих частиц; в общем случае диффузия анизотропна и коэффициент диффузии D – тензор второго ранга, определяемый как

 .                                             (1.3)

Используя трехмерное уравнение непрерывности

,                                                 (1.4)

из выражений (1.1) и (1.2) получаем

 ,                                           (1.5)

 .                                    (1.6)

Уравнения (1.5) и (1.6) применимы для анизотропных тел. Для одномерной диффузии, а также для изотропных тел, в которых компоненты тензора коэффициента диффузии равны между собой, уравнения (1.5) и (1.6) принимают вид:

,                                        (1.7)

.                                 (1.8)

Коэффициент диффузии связан с длиной скачка  и средней частотой прыжка  соотношением

,                                               (1.9)

где - геометрический фактор, зависящий от типа структуры. Частота прыжка определяется выражением

,                                    (1.10)

где - частота собственных колебаний атомов; S и W – энтропия активации и энтальпия (энергия активации) соответственно, связанные со свободной энергией Гиббса соотношением . Подстановка выражения (1.10) в (1.9) дает

.                            (1.11)

Если элементарный акт диффузионного скачка требует наличия термически активированных дефектов (при диффузии как по вакансиям, так и по междоузлиям), то свободная энергия Гиббса равна сумме членов, связанных с образованием  и движением  дефектов:

.                                        (1.12)

В случае независимости коэффициента диффузии от концентрации мигрирующих частиц применение уравнения непрерывности позволяет перейти ко второму уравнению Фика для одномерной диффузии в дифференциальной форме, устанавливающему связь между концентрацией диффундирующих атомов в различных точках тела и времени диффузии:

                                             (1.13)

    Решение уравнения (1.13) принимает различный вид в зависимости от начальных и граничных условий. Ниже кратко рассмотрим решения этого уравнения для наиболее часто встречающихся на практике случаев диффузии в полуограниченное твердое тело.