О дифференциальных уравнениях

6.1. Основные понятия и определения

Дифференциальными называются уравнения, которые со- держат искомые функции, их производные и (или) дифферен- циалы различных порядков, независимые переменные.

Теория дифференциальных уравнений появилась в кон- це XVIII в. в результате решения некоторых задач механики  и физики. Термин дифференциальные уравнения ввел Г. Лей- бниц.

Дифференциальные уравнения подразделяются на диф- ференциальные уравнения в частных производных, неизвест- ная функция в которых зависит от двух и большего количества неизвестных, и на обыкновенные дифференциальные уравне- ния, неизвестная функция в которых зависит от одного аргу- мента.

В данном учебнике кратко рассмотрим обыкновенные диф- ференциальные уравнения.

Общий вид обыкновенного дифференциального уравнения следующий:

F (x, y, y ′, y ″, …, y ^{( n )}) = 0

или

 

 

Наивысший порядок производных, входящих в дифферен- циальное уравнение, называется его порядком.

Например,  это дифференциальное уравне- ние второго порядка.

Решить дифференциальное уравнение — это значит найти такую функцию, подстановка которой в это дифференциаль- ное уравнение превращает его в тождество.

Любое дифференциальное уравнение имеет бесконечное множество решений. Геометрически они изображаются се- мейством интегральных кривых. И эту совокупность решений называют общим решением дифференциального уравнения и записывают так: y = ϕ(x, C 1, C 2, …, C n).

А решения, содержащие конкретные значения постоян-

ных, называются частными решениями дифференциальных уравнений.

 

Дифференциальные уравнения 1-го порядка

Общие понятия

Дифференциальное уравнение первого порядка — это уравнение, связывающее независимую переменную, неизвест- ную функцию, ее производную и (или) дифференциал.

Его общий вид следующий:

F (x, y, y ′) или .

Если это уравнение можно разделить относительно произ- водной (y ′), то получим одно или несколько уравнений вида:

y ′ = f (x, y).

Общее решение этого дифференциального уравнения име- ет следующий вид:

y = ϕ(x, C).

Для того чтобы получить конкретные частные решения, надо задать начальные условия, т. е. указать пару соответс- твующих друг другу значений аргумента (х 0) и функции (у 0). Обычно это записывается так:      .

Задавая начальные условия, из семейства интегральных кривых выделяем какую-то конкретную кривую.

Вопрос о том, в каком случае можно утверждать, что час- тное решение дифференциального уравнения, удовлетворяю- щее заданному начальному условию существует, а также явля- ется единственным, становится ясным из следующей теоремы.

Теоремы 6.1. Если в дифференциальном уравнении

y ′ = f (x, y) функция y = f (x, y) и ее частная производная по y

 непрерывны в некоторой области D на плоскости х 0 у, содержащей точку (x 0, y 0), то существует единственное реше- ние этого дифференциального уравнения y = ϕ(x,), удовлетво- ряющее условию при х = х 0 и у = у 0 [44, 59].

Приведенная теорема была впервые сформулирована и

доказана Коши. Поэтому задачу нахождения частного решения по заданным начальным условиям называют задачей Коши.