Вычисление площадей плоских фигур

Так как определенный интеграл от непрерывной неотрица- тельной функции равен площади соответствующей криволиней- ной трапеции, а площадь любой плоской фигуры можно пред- ставить как сумму и (или) разность площадей криволинейных трапеций, то, следовательно, определенный интеграл можно ис- пользовать для вычисления площадей плоских фигур [9, 35].

Если функция y = f (x) или плоская фигура ABCD нахо- дятся выше оси 0 х (рис 5.9 и рис. 5.10), то имеем  и

.

 

y

y f (x)

 

S ₁

 

 

0    a                                           b x

Рис. 5.9

Рис. 5.10

Если функция y = f (x) находится полностью или частично под осью 0 х (рис. 5.11 и 5.12), то получаем:

 .

y f (x)

Рис. 5.11

Рис. 5.12

Если функция x = (y) или плоская фигура ABCD прилега- ют к оси 0 y, то (рис. 5.13 и 5.14)

 

Рис. 5.13

Рис. 5.14

Задачи на вычисление площадей плоских фигур можно решать по следующей схеме:

1) В соответствии с условиями задачи делают схематичес- кий чертеж.

2) Искомую площадь представляют как сумму и (или) раз- ность площадей криволинейных трапеций.

3) Находят пределы интегрирования.

4) Вычисляют площади каждой криволинейной трапеции и искомую площадь фигуры.

Теперь рассмотрим конкретные примеры вычисления пло- щадей плоских фигур.

Пример 5.40.

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: х =

= 4 − у ^{2 ,} х = 0.

Сначала по условиям задачи строим схематический чер- теж (рис. 5.15).

Рис. 5.15

x = 4 − у ² — парабола. Найдем ее вершину х = -2 у. y = 0, х =

= 4 (max) и точки пересечения с осью 0 у. 4 − у ² = 0, у = 2, у = -2.

y 1 = -2 и y 2 = 2 являются пределами интегрирования. Теперь найдем искомую площадь. Так как парабола сим-

метрична относительно оси абсцисс, то можно записать.

 кв. ед.

Пример 5.41.

Вычислим площадь фигуры, ограниченной линиями:

y = x ² − 6 x + 8; y = 0.

Построим схематический чертеж искомой фигуры (см. рис. 5.16)

 

Рис. 5.16

Кривая y = x ² − 6 x + 8 есть парабола, ветви которой на- правлены вверх. Найдем ее характерные точки.

y = 2 x − 6;

y = 0;

2 x − 6 = 0;

x = 3, y = -1 (min);

x ² − 6 x + 8 = 0;

D = 36 − 4·1·8 = 4;

 (пределы интегрирования). Теперь находим искомую площадь (знак модуля ставится,

так как фигура находится под осью 0 х).

 

 

кв. ед.

Пример 5.42.

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями xy = 6,

x + y − 7 = 0.

Построим схематический чертеж (рис. 5.17) и найдем пре- делы интегрирования:

 

(пределы интегрирования)

 

Рис. 5.17

Теперь находим искомую площадь

 

= 35 − 17,5 − 6ln6 = (17,5 − 6ln6) кв. ед.

Нахождение длины дуги кривой

Пусть в плоскости х 0 у уравнением y = f (x) задана кри- вая линия. Вычислим длину дуги АВ этой кривой, заключенной между прямыми х = а и х = b (рис. 5.18).

Рис. 5.18

На дуге АВ возьмем точки А, А 1, А 2, …, В с абсциссами х 0 =

= а, х 1, х 2, …, b = х n. Проведем хорды АА 1, А 1 А 2, …, А n -1 В, длины которых соответственно обозначим l 1, l 2, …, l n. В результате получим ломаную линию А А 1 А 2 … А n -1 В, которая вписана в

дугу АВ. Длина этой ломаной будет равна . А длиной (l) дуги АВ называется предел, к которому стремится длина впи- санной ломаной, когда длина ее наибольшего звена стремится к нулю, т. е.

 

 

В курсах математического анализа доказывается (см., на- пример, [9, 44, 45]), что если на отрезке [ a, b ] функция f (x) и ее производная f ’(x) непрерывны, то этот предел существует и длина дуги АВ находится по формуле

(5.14)

Рассмотрим конкретный пример.

Пример 5.43

Найти длину дуги кривой , отсеченной осью 0 х.

Сначала построим график исходной функции и найдем а и

b (рис. 5.19)

y = x.

 

Находим а и b.

 

.

Теперь по формуле (5.14) нахо- дим искомую длину дуги.

  [Так как исходная

парабола симметрична относительно оси 0у, то получаем]

 

 

x

Рис. 5.19

Найдем

 

Получившийся определенный интеграл можно брать не- сколькими способами, например, подстановкой x = sh y   (где   — гиперболический синус) или методом интегри- рования по частям, которым мы и воспользуемся. Напомним, что формула интегрирования по частям имеет вид:

 

 

В нашем случае имеем

.

Тогда получим:

 

 

табличным (см. формулу 17 таблицы интегралов раздела 5.1). Он равен

 

 

В нашем случае получаем

.

Поэтому l 1 примет вид:

 

Переносим окончательно получаем

.

Объем тела вращения

Рассмотрим тело, которое образовано вращением вокруг оси 0 х криволинейной трапеции aABb, ограниченной функцией y = f (x), осью 0 х и прямыми x = a и x = b (рис. 5.20).

Рис. 5.20

Разобьем полученное тело на слои с помощью секущихся плоскостей, перпендикулярных к оси 0 х и пересекающих ее в точках x 0 = a, x 1, …, x n -1, x n = b. Каждый слой заменим прямым цилиндром. Объем каждого из этих цилиндров будет равен V i =

= y ²

i-1

  x i,        [в данном случае поперечные сечения с абс-

циссами x 0 = a, x 1, …, x n -1, x n = b есть окружности].

Поэтому объем n-ступенчатого тела будет равен:

Переходим к пределу при n → и при стремлении max x i → 0 и получаем искомый объем тела вращения [9]:

                        (5.15)

В том случая, если тело образовано вращением вокруг оси  0 у криволинейной  трапеции cCDd, ограниченной функцией х = (у) и прямыми у = с, у = d (рис. 5.21), то его объем находит- ся по формуле

                                  (5.16)

Рис. 5.21

Теперь рассмотрим конкретный пример.

Пример 5.44.

Найдем объем двухосного эллипсоида вращения, канони- ческое уравнение которого имеет вид , где а и b —

большая и малая полуоси соответственно (одной из моделей Земли как раз и является двухосный эллипсоид вращения, в России принят рефенц-эллипсоид с параметрами а = 6378245 м,

). Его сечением, в плоскости х 0 z будет эллипс:

 

(рис. 5.22).

Таким образом, эллипсоид образован вращением  вокруг

оси 0х функции            , ограниченной прямыми х = - а и

х = а, и осью 0 х.

Рис. 5.22

Тогда по формуле (5.15) получаем: