Приближенное вычисление определенных интегралов

В тех случаях, когда подынтегральная функция имеет сложный вид и неясно как ее преобразовать к табличной или же первообразная подынтегральной функции не выражается через элементарные функции, применяют приближенные ме- тоды вычисления определенных интегралов.

Приведем несколько способов приближенного интегриро- вания, исходя из определения интеграла как предела суммы.

а) Формула прямоугольников.

Пусть на [ a,b ] задана непрерывная функция y = f (x). Надо вычислить . Отрезок [ a, b ] разделим точками а = х 0, х 1, х 2,…, х n -1, х n = b на n одинаковых частей длины х, где

(рис. 5.23).

Рис. 5.23

Значения функции y = f (x) в точках х 0, х 1, х 2,…, х n -1, х n

обозначим через у 0, у 1, у 2,…, у n -1, у n. Теперь составим две суммы:

S 1 = y 0    x + y 1    x + y 2    x +…+ y n-1    x,                  (5.17)

где S 1 есть суммарная площадь прямоугольников, лежащих ниже y = f (x);

S 2 = y 1    x + y 2    x +…+ y n x,                                  (5.18)

где S 2 есть суммарная площадь прямоугольников, лежащих выше y = f (x).

Истинная площадь фигуры, ограниченная y = f (x), удов- летворяет условию S 1 < S ист < S 2.

Поэтому можно записать приближенные равенства [4, 35]:

                                (5.19)

(5.20)

 

Приближенные равенства (5.19) и (5.20) и есть формулы прямоугольников. Ошибка, которую мы совершаем при вычис- лении интегралов по формулам (5.19) и (5.20) будет тем меньше, чем больше n. Для того чтобы определить, сколько точек деле- ния надо взять, чтобы вычислить интеграл с заданной точнос- тью, надо использовать формулу оценки погрешности, которая получается при приближенном вычислении интеграла. Для ме- тода прямоугольников она имеет вид:

где  [19].

Приведем конкретный пример.

Пример 5.45.

Используя метод прямоугольников, вычислим приближен- но интеграл

 

, взяв n = 10.

 

Заметим, что этот интеграл относится к числу неберущих- ся, т. е. он не выражается в элементарных функциях.

Используем для расчета формулу (5.19).

 

 

Теперь по формуле (5.19) имеем:

 

б) Формула трапеций.

Более точное значение определенного интеграла, чем по (5.19) и (5.20), получим, заменив исходную функцию y = f (x) ломаной линией (рис. 5.24).

То есть площадь криволинейной трапеции aABb заме- ним площадью фигуры, состоящей из прямоугольных трапе- ций: aAA 1 x 1, x 1 A 1 A 2 x 2, …, x n -1 A n -1 Bb. Их площади будут равны:

. Поэтому определенный интеграл приближенно будут равен:

,

или

(5.21)

 

Выражение (5.21) носит название формулы трапеций.

A n -1    B

Рис. 5.24

Формула оценки погрешности, получающейся при прибли- женном вычислении интеграла, в этом случае имеет вид [19]:

где

Приведем конкретный пример вычисления определенного

интеграла по формуле (5.21).

Пример 5.46.

Используя метод трапеции приближенно вычислим интег- рал , приняв n = 10. Этот интеграл, как и интеграл пре- дыдущего примера, является неберущимся. В данном случае

.

Теперь по формуле (5.21) получаем

в) Формула парабол (формула Симпсона).

Пусть на отрезке [ a, b ] задана непрерывная функция y = f (x). Разделим [ a, b ] на четное число частей n = 2 m. Сущ- ность способа заключается в том, что отрезки прямых, ограни- чивающих элементарные трапеции сверху, заменяют дугами парабол, оси которых параллельны оси 0 у (рис. 5.25).

Рис. 5.25

Уравнения таких парабол имеет вид y = cx ² + dx + p. Коэф- фициенты c, d, p можно однозначно найти по трем точкам, если абсциссы их различны. Дуги парабол проводят через каждую

тройку точек. Криволинейную трапецию aABb заменяют сум- мой площадей криволинейных трапеций, ограниченных дуга- ми парабол. Площадь первой из таких параболических трапе- ций равна

 

 

площадь второй равна:                                 .

 

Площадь n -й равна:

Искомая формула Симпсона имеет вид [4, 35]:

                                                       (5.22)

Формула оценки погрешности, получающейся при прибли- женном вычислении интеграла, в этом случае имеет вид [19]:

где

Применение формулы (5.22) значительно повышает точ-

ность вычисления определенного интеграла. Метод прямоуголь- ников является наиболее простым и наименее точным способом. Выбор способа приближенного интегрирования зависит от по- дынтегральной функции и требуемой точности расчета.

Приведем конкретный пример вычисления определенного интеграла по формуле (5.22).

Пример 5.47.

Используя формулу Симпсона приближенно вычислим интеграл, приняв n = 10. Заметим, что этот интеграл,

как и интегралы из двух предшествующих примеров, является неберущимся. В данном случае;

 

 

 

 

По формуле (5.22) получим:

 

 

 

Понятие о двойном интеграле

Понятие двойного интеграла является расширением поня- тия определенного интеграла на случай двух аргументов.

На плоскости х 0 у рассмотрим замкнутую область В (об- ласть В называется замкнутой, если она ограничена линией и точки, которые лежат на границе, считаются принадлежащи- ми области В), ограниченную линией L. В этой области зада-

дим непрерывную функцию z = f (x, y). Область В произволь- но разобьем на n частей (площадок): b 1, b 2, b 3, …, b n. Площади этих частей (площадок) обозначим S 1, S 2, …, S n. В каждой площадке   b i   возьмем произвольную точку M i (эта точка может лежать и на границе площадки). Таким образом, будем иметь n точек: М 1, М 2, …, М n (рис. 5.26).

Рис. 5.26

Через f (M 1), f (M 2), …, f (M n) обозначим значения функции z = f (x, y) в выбранных нами точках. Затем составим сумму произведений f (M i) S i, которую обозначим V s:

(5.23)

 

Сумма (5.23) называется интегральной суммой для функ- ции z = f (x, y) в области В [44].

В случае, если z = f (x, y) 0 в области В каждое слагае- мое f (M i) S i есть объем цилиндра, площадь основания которого

  S i, а высота f (M i). А сумма V s представляет собой объем неко- торого ступенчатого тела (рис. 5.27).

 

 

z

Рис. 5.27

Теперь рассмотрим произвольную последовательность ин- тегральных сумм, которые составлены с использованием фун- кции z = f (x, y) для области В:

                                                                                           (5.24)

при различных способах разбиении области В на площад-  ки b i. Потребуем, чтобы максимальный диаметр площадок b i стремился к нулю (max diam b i → 0) при стремлении к бес- конечности количества этих площадок (n k →). Тогда будет справедлива следующая теорема, которую приводим без до- казательства.

Теорема 5.4. Если функция z = f (x, y) непрерывна в за- мкнутой области В, то существует предел последовательнос-

ти (5.24) интегральных сумм (5.23), если максимальный диа- метр площадок b i → 0, а n →. Этот предел будет одинаков для любой последовательности вида (5.24), т. е. он не зависит ни от способа разделения области В на площадки b i, ни от выбора в этих площадках точек M i. Этот предел называется двойным ин- тегралом от функции z = f (x, y) по области В и обозначается

т. е.

 

 

Область В называется областью интегрирования.

Если z = f (x, y) 0, двойной интеграл от этой функции по области В равен объему тела, ограниченного поверхностью z = f (x, y), плоскостью х 0 у и цилиндрической поверхностью, образующие которой параллельны оси 0 z, а направляющей служит линия L.

 

Свойства двойного интеграла

1.
Если область В разбить на две части В 1 и В 2, то

Аналогично при разбиении области В на число частей боль- ше двух.

2.
Двойной интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме двойных интегра- лов от этих функций, т. е.

 

3. Постоянный множитель можно выносить за знак двойно- го интеграла, т. е.

где с — постоянная величина.