Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли

К линейным дифференциальным уравнениям относятся дифференциальные уравнения вида:

y ′ + p (x) y = q (x),                                 (6.11) т. е. линейное относительно неизвестной функции и ее произ-

водной. В уравнении (6.11) p (x) и q (х) — известные функции ар- гумента х.

Рассмотрим метод Бернулли. По этому методу дифферен- циальное уравнение (6.11) сводится к двум дифференциаль- ным уравнениям с разделяющимися переменными с помощью следующего приема.

Представим функцию у в виде произведения двух функ- ций y = uv. Одной из этих функций можно распорядиться про- извольно, а вторая при этом должна быть определена в зави- симости от первой так, чтобы их произведение удовлетворяло исходному дифференциальному уравнению. Свободой выбора одной из функций u и v надо воспользоваться для упрощения дифференциального уравнения, получающегося после замены.

Из равенства y = uv получим y ′ = u ′ v + v ′ u. Это выражение подставим в (6.11) и получим:

u ′ v + v ′ u + p (x) uv = q (х); u ′ v + u (v ′ + p (x) v) = q (х).

В качестве v выберем какое-нибудь частное решение диф- ференциального уравнения

v ′ + p (x) v = 0.                                 (6.12)

Тогда для нахождения u получим дифференциальное уравнение

u ′ v = q (х) .                                       (6.13)

Из дифференциального уравнения (6.12) находим v.

Интегрируем обе части последнего выражения

 

(6.14)

 

Под неопределенным интегралом в выражении (6.14) по- нимается какая-то одна первообразная от функции p (x), т. е. v есть вполне определенная функция от х.

Теперь, используя найденное значение функции v из урав- нения (6.13), находим функцию u.

.

Интегрируем обе части последнего выражения и получаем

                                         (6.15)

В формуле (6.15) для функции u берутся все первообразные. Зная функции u и v, находим искомую функцию у.

                     (6.16)

Выражение (6.16) является общим решением линейного дифференциального уравнения первого порядка.

Пример 6.8. Найдем общее решение линейного дифферен-

циального уравнения .

Используем подстановку y = uv ⇒ y ′ = u ′ v + v ′ u и получим

В качестве v выберем какое-то частное решение диффе- ренциального уравнения , тогда u можно найти из дифференциального уравнения u ′ v = x ³.

Находим функцию v

Зная v, находим функцию u

Зная функции u и v, находим исходную функцию у

y = uv = x ³(x + C).                                   (6.17)

Выражение (6.17) есть общее решение исходного диффе- ренциального уравнения.

 

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка с постоянными коэффициентами

Общий вид таких дифференциальных уравнений следую- щий:

y ′ + ay = b,                                               (6.18)

где a, b ∈ R [35], т. е. это частный случай уравнения (6.11).

Дифференциальное уравнение вида (6.18) решается раз- делением переменных, т. е.

Интегрируем левую и правую части последнего выраже- ния и получаем:

 

Так как постоянная может быть  любая,  обозначим  и получаем общее решение дифференциального уравнения (6.18)

(6.19)

 

Пример 6.9.

Найдем общее решение дифференциального уравнения

y ′ + 2 y + 5 = 0.

 

 

  

Теперь рассмотрим метод Лагранжа решения уравне- ния (6.11). В соответствии с этим способом сначала рассмотрим дифференциальное уравнение (6.11), но без правой части, оно называется линейным однородным дифференциальным урав- нением.

y ′ + p (x) · y = 0.                                                             (6.20)

Перепишем последнее дифференциальное уравнение сле- дующим образом:

Получили дифференциальное уравнение с разделяющи- мися переменными. Разделяя эти переменные, получаем:

Интегрируя обе части последнего выражения, имеем:

 

 

.

Постоянная может быть любой, поэтому обозначим ± С 1 = С

и тогда получим:

                                                                                        (6.21)

Метод Лагранжа состоит в том, что постоянную С в полу- ченном решении (6.21) заменяем функцией от х, т. е. полагаем, что С = С (х). А решение исходного дифференциального урав- нения (6.11) ищем в виде

.                                                            (6.22)

Дифференцируем формулу (6.22) по х и получаем:

Подставляем у и у ’ в исходное дифференциальное уравне- ние (6.11).

Последнее дифференциальное уравнение — уравнение с разделяющимися переменными. Разделяя эти переменные, на- ходим:

Интегрируя обе части последнего выражения, определяем неизвестную функцию С (х).

где С0 — постоянная.

Подставляем найденное значение С (х) в формулу (6.22) и получаем общее решение дифференциального уравнения (6.11).

Это решение, естественно, совпадает с тем, которое мы по- лучили по методу Бернулли.

Пример 6.10.

Найти общее решение или общий интеграл следующего дифференциального уравнения:

Используем метод Лагранжа и рассмотрим однородное ли- нейное дифференциальное уравнение.

 или

Данное дифференциальное уравнение — уравнение с раз- деляющимися переменными. Разделяя переменные, получаем

Интегрируя обе части последнего выражения, получаем: ln | y | = -ln | x | + ln | C 1|;

 

± С 1 = С, следовательно имеем

Будем искать решение исходного дифференциального уравнения в виде

Дифференцируем это выражение и находим:

Подставляя у и у ’ в исходное дифференциальное уравне- ние, получаем:

 

Следовательно, общее решение исходного дифференци- ального уравнения будет иметь вид

Естественно это решение можно получить и методом Бер- нулли.

 

Уравнение Бернулли

Дифференциальное уравнение вида y ′ + p (x) y = q (x) yⁿ, где n ∈ R, называется уравнением Бернулли. Заметим, что его оче- видное решение у = 0. При n = 0 данное уравнение будет ли- нейным, при n = 1 — с разделяющимися переменными, а при любых других n оно сводится к линейному с помощью подста- новки ω = у ^{1 – n}.

Делим все элементы исходного уравнения на yⁿ и получаем

.

Теперь делаем замену ω = у ^{1 – n}, замечая, что

.

Тогда получаем:

или                                         .

 

Последнее дифференциальное уравнение является линей- ным; решение таких уравнений мы рассматривали. Находим общий интеграл полученного линейного уравнения и, подстав- ляя вместо ω выражение у ^{1 – n}, находим общее решение уравне- ния Бернулли.

Пример 6.11.

Найдем общее решение дифференциального уравнения .

Данное уравнение является уравнением Бернулли с n = 1/2.

Поэтому используем подстановку . Делим все элементы

исходного уравнения на  и получаем . Разде- лим обе части этого уравнения на х ≠ 0.

Тогда получим                     . Теперь осуществляем под- становку , замечая, что             .

После этого уравнение принимает вид , или

, т. е. получили линейное уравнение, из решения

которого и найдем неизвестную функцию ω.

Применим подстановку ω = U · V, тогда ω' = U ’· V + U · V ’ и линейное уравнение примет вид

 

В качестве V выберем какое-либо частное решение диф- ференциального  уравнения   , тогда U можно найти

из  дифференциального  уравнения            .

Определяем функцию V:

 , или V = x ². Зная V, находим функцию U:

Зная U и V, вычисляем ω:

Теперь находим искомую функцию:

Это и есть общее решение исходного уравнения Бернулли. Его решением является и ноль, т. е. у = 0. Заметим, что урав- нение Бернулли можно решить сразу, применив подстановку y = U · V.