Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Дифференциальные уравнения второго порядка, решаемые с помощью понижения порядка
Сущность данного способа состоит в том, что, используя замену переменной, исходное дифференциальное уравнение сводится к дифференциальному уравнению первого порядка. Рассмотрим некоторые типы дифференциальных уравне- ний, которые допускают понижение порядка. 1) y ″ = f (y). Данное дифференциальное уравнение интегрируется с по- мощью подстановки y ′ = p, (6.37) которая приводит исходное дифференциальное уравнение к дифференциальному уравнению с разделяющимися перемен- ными. Получаем .
Поэтому имеем . Далее, разделяя переменные, получаем p · dp = f (y) dy. Из полученного уровнения получаем р, а из уравнения находим общий интеграл исходного дифференциального уравнения f (x, y, C 1, C 2) = 0. 2) y ″ = f (y ′). Данное дифференциальное уравнение с помощью подста- новки y ′ = p (6.37) приводится к дифференциальному уравнению с разделяющи- мися переменными: , т. е. , а далее, разделяя переменные, получаем . 3) y ” = f (x, y ’). Используем подстановку (6.37) и приводим данное диффе- ренциальное уравнение к следующему виду: . Решая данное уравнение, определяем неизвестную функ- цию p. 4) y ” = f (y, y ’)
ренциальное уравнение к виду , где у является ар- гументом. Теперь рассмотрим несколько конкретных примеров. Пример 6.16.
. Это уравнение вида 3. Поэтому используем подстановку y ′ = p и получаем . Полученное дифференциальное уравнение является ли- нейным дифференциальным уравнением первого порядка. Для его решения применим метод Бернулли. p = U · V; p ’ = U ’ · V + V ’ · U.
;
В качестве функции V примем какое-то конкретное диф- ференциального уравнения: V ′ − 2/ x · V = 0 Тогда функцию U найдем из дифференциального урав- нения U ′ · V = 2 x 3;
Интегрируя, получаем ln| V | = 2ln| х |, или V = x 2. Зная функцию V, ищем функцию U.
Из последнего выражения находим
, находим ;
Последнее выражение и есть общее решение исходного дифференциального уравнения. Пример 6.17. Найти общее решение дифференциального уравнения 1 + (y ′)2 − 2 y · y ″ = 0. Это дифференциальное уравнение вида 4. Поэтому, ис- пользуя подстановку y ′ = p, получаем .
.
. ;
Это выражение и есть общее решение исходного диффи- ринциального уравнения. Пример 6.18. Найти частное решение диффиринциального уравнения y ″ = y ′ · ln y ′, если заданы начальные условия ; . Это уравнение 2. Поэтому используем подстановку y ′ = p. Исходное дифференциальное уравнение запишется в виде
; ; ; . Так как постоянная может быть любой, обозначим и тогда получаем. Имея в виду, что , получим . Делаем под- становку e x = z, x = ln z, dx = dz / z. Тогда получаем . . Интеграл, стоящий в правой части последнего выражения, является “неберущимся”, т. е. он не выражается в элементар- ных функциях. Для его решения надо использовать численные методы, например разложить в ряд подынтегральную функ- цию ez. Мы же воспользуемся тем, что надо найти не общее, а част- ное решение исходного дифференциального уравнения. Опре- делим это частное решение без нахождения общего, используя заданные начальные условия. Используем начальное условие к уравнению . Обозначим и получим .
. Поэтому имеем y ′ = 1 или y = x + C 4. Для нахождения постоянной С4 используем начальное ус- ловие и получаем C 4 = 0. Поэтому получаем частное решение y = x, удолетворяю- щее заданным начальным условиям. Пример 6.19.
. Это уравнение вида 1, поэтому применяем замену у ′ = р и получаем . Разделяем переменные и имеем ; ; .
Учитывая, что , имеем . Разделяя пе- ременные, получаем.
,
Последнее выражение и есть общее решение исходного дифференциального уравнения.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-01-14; просмотров: 91; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.149.252.37 (0.012 с.) |