Сеточная функция. Пространство сеточных функций. Нормы сеточных функций

Функция y=y(x_i) дискретного аргумента x_i называется сеточной функцией, определенной на сетке . Сеточные функции можно рассматривать как функции целочисленного аргумента, являющегося номером узла сетки, т. е. y=y(x_i)=y(i). Далее мы будем писать y(x_i)=y_i.

Сеточная область w_h зависит от параметра h. При различных значениях параметра h имеем различные сеточные области. Поэтому и сеточные функции y_h(x) зависят от параметра h.

Функции u(x) непрерывного аргумента являются элементами функционального пространства H. Множество сеточных функций y_h(x) образует пространство H_h. Таким образом, в методе сеток пространство H заменяется на H_h сеточных функций y_h(x).

Так как рассматривается множество сеток {w_h}, то мы получаем множество {H_h} пространств сеточных функций, определенных на {w_h}.

Пусть u(x) - решение исходной непрерывной задачи Lu(x)=f(x), (1)

; y_h- решение разностной задачи, . Для теории приближенных вычислений представляет большой интерес оценка близости u(x) и y_h(x), но u(x) и y_h(x) являются элементами из различных пространств. Пространство H отображается на пространство H_h. Каждой функции  ставится в соответствие сеточная функция y_h(x), x w_h, так что y_h=P_hu H_h, где P_h- линейный оператор из H в H_h. Это соответствие можно осуществить различными способами, т. е. зависит от выбора оператора P_h. Теперь, имея сеточную функцию u_h, образуем разность y_h-u_h, которая является вектором пространства H_h.

Близость y_h и u_h характеризуется числом ||y_h-u_h||_Hh, где ||.||_Hh – норма на H_h.

Соответствие функций u(x) и u_h можно установить различными способами, например,

u_h=u(x), x  w_h. В дальнейшем мы будем пользоваться этим способом соответствия.

В линейном пространстве H_h введем норму ||.||_Hh, которая является аналогом нормы ||.||_Н в исходном пространстве Н. Обычно принято выбирать норму в пространстве H_h так, чтобы при стремлении к нулю h она переходила в ту или иную норму функций, заданных на всем отрезке, т.е. чтобы выполнялось условие: _Hh= _H, (2)

где ||.||_Н - норма в пространстве функций, определенных на отрезке, которому принадлежит решение.

Условие (2) называют условием согласования в пространствах H_h и Н.

Рассмотрим простейшие типы норм в H_h для случая сеток w_h={x_i=i∙h} на отрезке 0≤x≤1.

1. Норма _Hh=

удовлетворяет условию (2), если в качестве Н рассматривать пространство непрерывных функций с нормой _H= , H=[a,b],

а сеточную функцию определять как y_h(x)=u_h(x), x  w_h

2. Норма _Hh=

удовлетворяют условию (2), если за Н принять пространство непрерывных функций с нормой _H= u²(x)dx, H=C[a,b],

а сеточную функцию определять в виде y_h=u_h(x), x  w_h.