Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Итерационные методы решения систем ЛАУ. Метод простой итерации. Условия сходимости и критерий остановки итераций.
Общая схема больш-ва итерационных методов реш-я СЛАУ (1) с невырожденной матрицей и заданным вектором пр. части имеет вид , (2) где – матрица итерационного метода, – начальное приближение итерационного процесса. Последоват-ть , - итерационные приближения искомого решения. Итерационный метод, в котором для вычисления каждого нового используется лишь - итерационный методом 1 порядка, или одношаговым итерационным методом. Итерационный процесс (2) приводит к решению задачи (1) ó вып-ся условия: 1. последовательность векторов , , сходится. 2. предел данной последовательности является решением (1). Из 2 => матрица и вектор могут быть заданы в виде: , (3) где – единичная матрица, – невырожденная матрица: выполнено условие 1. Для произвольных невырожденных матриц и существует единственное значение вектора такое, что и с учетом выбора (3): Разнообразие итерационных методов связано с выбором конкретного вида матрицы - переобусловливателя. Если матрица одинакова для всех итераций, то итерационный процесс называется стационарным. Среди нестационарных традиционно используются переобусловливатели вида , где для каждой итерации выбирается из расчета наибольшей скорости сходимости. С точки зрения алгоритмической реализации итерационный процесс (2), (3) удобно представить в виде (5) При (5), в отличие от (2), (3), не нужен явный вид м-цы и выч-е очередного итерационного приближения сводится к решению СЛАУ: (5') Метод простой итерации: Стационарный одношаговый итерационный метод вида (6). По (2) . По (5) . Теорема. Пусть – симметричная положительно определенная матрица , тогда итерационный метод (6) сходится при . Доказательство: Спектральная норма симметричной матрицы определяется: . Если – симметричная матрица, то матрица также будет симметричной и . Тогда . Из положительной определенности матрицы следует, что при выполняется оценка , из которой следует, что . Теорема. Пусть – симметричная положительно определенная матрица: , , где положит-е постоянные , – мин-е и макс-е собственные значения матрицы . Тогда максимальная скорость сходимости итерационного процесса (6) достигается при , при этом (7) Доказательство: Поиска оптимального зн-я итер-го параметра = определение условия минимума как функции от . Найдем явный вид данной функции.
. Несложно заметить, что и => в интервале значений функция принимает минимальное значение. Поскольку функция определяется максимальным значением модулей двух линейных функций, то минимум такой функции может достигаться только в точке равенства модулей данных линейных функций. Ур-е имеет единственный корень на интервале : . При этом . Теорема доказана. Скорость сходимости метода простой итерации зависит от отношения даже в случае оптимального выбора итерационного параметра. Для симметричных положительно определенных м-ц , . => , где – число обусловленности . Для плохо обусловленных матриц (не близко к 1) значение велико, и тогда по (7) (эфф-ть м-да может ухудшаться при )
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2020-12-09; просмотров: 206; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.144.202.167 (0.018 с.) |