Порядок аппроксимации разностной схемы. Оценка порядка аппроксимации разностной схемы с весами для нестационарного уравнения теплопроводности.

Построение разностной схемы состоит из последовательности стандартных шагов.

- Построение сетки в области определения искомого решения задачи.

- Замена в ДУ непрерывных производных их разностными аналогами.

- Замена всех функций соответствующими сеточными функциями, определенными в узлах

=>приходим к разностной схеме, представляющей дискретный аналог дифференциальной задачи и содержащей шаги сетки.

Решение разностной задачи   сходится к решению дифф. задачи , если при шагах сетки, стремящихся к нулю ,  в пространстве сеточных функций.

Разностная схема имеет -й порядок аппроксимации по шагу h (или ), если при убывании шагов сетки погрешность аппроксимации стремиться к нулю как ().

 

Разность между дискретными и непрерывными производными принято называть погрешностью аппроксимации или ошибкой дискретизации дифференциального оператора на данной функции. Погрешность аппроксимации дифференциальных операторов может быть выражена путем разложения дифференцируемой функции в степенной ряд в окрестности фиксированного узла сетки (если возможно). Погрешность аппроксимации дискретной модели складывается из погрешностей аппроксимации каждого из ее элементов (погрешности аппроксимации производных, граничных условий, коэффициентов, функций и т.п.). 

Разностная схема аппроксимирует дифференциальную задачу, если погрешность аппроксимации данной разностной схемы на решении дифференциальной задачи стремиться к нулю при шагах сетки, стремящихся к нулю.

Следует подчеркнуть отличие понятий погрешности приближенного решения и погрешности аппроксимации задачи. Погрешность решения определяется разностью между точным решением и некоторым его приближением. Погрешность аппроксимации дискретной задачи выражает невязку, которая возникают при подстановке точного решения в уравнения дискретной задачи, характеризует величину возмущений, связанных с переходом от дифференциальной модели к дискретной. 

 

Рассмотрим стандартную процедуру оценки порядка аппроксимации разностных схем, для дифференциального уравнения вида ,  - дифференциальный оператор, содержащий частные производные по всем независимым переменным. Разностную аппроксимацию данного уравнения можно представить в виде , ,  - сеточные представления дифференц-х операторов и функции правой части.

 

1)Изобразить шаблон, выбрать точку, относительно которой будем искать невязку. Если шаблон симметричен - относительно центра симметрии. Если несимметричен - в какой-то внутренней точке шаблона, отн-но которой имеет место хотя бы частичная симметрия.

2)Подставить точное решения в построенную схему, полагая, что в точке, относительно которой мы намерены вычислить невязку, значение решения известно, а во всех других точках шаблона зн-я данного реш-я выразить с помощью конечного числа ряда Тейлора.

3)Привести всё к виду .            

4)Оценить порядок малости невязки   относительно шагов сетки.