Прямой метод вычисления собственных значений:

В прямом методе получают хар-е ур-е в аналитическом виде или определяют алгоритм выч-я коэфф-в уравнения, потом решают это ур-е одним из численных методов.

det(A- λ E) = D (λ) может быть представлен в виде D (λ) =

 - сумма всех диагональных миноров первого порядка матрицы А.

 - cумма всех диагональных миноров второго порядка.

. Вычислив , находим корни полинома одним из численных методов.

Наиболее эффективный подход к проблеме собственных значений основан на использовании преобразований подобия, позволяющих привести исходную матрицу к треугольному, диагональному или блочно-диагональному виду. Поскольку преобразование подобия не меняет спектр матрицы, то применение такого рода преобразований во многих случаях приводит к решению полной проблемы собственных значений. Наиболее эффективны преобразования подобия в случае симметричных матриц.

Однако во многих случаях достаточно предположить, что среди собственных значений матрицы отсутствуют кратные. В этом случае существует преобразование подобие, приводящее матрицу к диагональному виду.

Способ построения преобразования подобия: исп-е элем-х матриц плоских вращений :

                           (3)

Матрица  (для определенности пусть ) отличается от единичной матрицы только элементами  и .  - ортогональные => - преобразование плоских вращений, является преобразованием подобия. При умножении матрицы слева (справа) на  новая матрица отличается от исходной лишь эл-ми строк с номерами  и  (столбцами). Полагая , рассмотрим произведения:

: ,

: .

Определим угол вращения таким образом, чтобы . .

Используя тригонометрические тождества, имеем:

, .                                     (4)

При выбранном угле поворота в результате преобразования  уменьшается общая сумма квадратов недиагональных элементов результирующей матрицы. Многократное применение такого рода преобразования с матрицами вращения : на текущем шаге , приводит к сходимости последовательности матриц , к матрице диагонального вида, при этом на диагонали новой матрицы будут находиться приближенные значения собственных чисел исходной матрицы . 

 

Метод Данилевского: Большая погрешность, но большая скорость получения результата.

Метод основан на известном факте из линейной алгебры о том, что преобразование подобия не меняет характеристического многочлена матрицы , т.к.

.

( => при записи характер-го уравнения на него сокращаем).

Приводим матрицу  с помощью преобразования подобия к так называемой канонической форме Фробениуса:

       Для матрицы характеристический многочлен может быть легко записан, если последовательно разлагать определитель  по элементам первого столбца =>

=> элементы 1-й строки являются коэффициентами её собственного многочлена => собственного многочлена матрицы . и связаны между собой:  

    Решив полученное уравнение , находим собственные значения матрицы . Далее, неособенная матрица , полученная в методе Данилевского, используется при нахождении собственных векторов матрицы .

       Построение матрицы в методе Данилевского осуществляется последовательно с помощью преобразований подобия, которые переводят строки матрицы , начиная с последней, в соответствующие строки матрицы .