Статистичні методи аналізу нелінійних та стохастичних систем

 

Для комплексного аналізу розвитку економіки держави використовуються економіко-математичні моделі, які розрізняються цілями та принципами побудови, способами функціонування та ступінем агрегаційних показників. Серед моделей, які застосовуються, можна виділити дві основні моделі: структурні та функціональні.

Структурні моделі відображають техніко-економічну організацію об’єкта, його складові частини та внутрішні параметри. До цього класу належать моделі міжгалузевого балансу, моделі народного господарства, моделі керування запасами і тому подібні.

Функціональні моделі будуються на принципово іншій методологічній основі. Вони характеризують поведінку об’єкта в результаті встановлення взаємозалежності між досліджуваними вхідними та вихідними параметрами, без залучення допоміжної інформації та їх внутрішньої структури.

Ці моделі доповнюють одна одну. Так, при побудові структурних моделей можна одержати інформацію про реакцію системи на зміну зовнішніх умов, а при вивченні функціональних моделей виникають гіпотези про внутрішню структуру об’єкта.

До функціональних моделей відносяться економетричні моделі.

Обґрунтування закономірностей змін досліджуваних економічних процесів – важлива передумова моделювання перспектив економічного розвитку. Розробка моделей повинна враховувати економічний зміст процесів.

Важливим питанням є визначення кількості та складу показників, причинно-наслідкових взаємозв’язків між ними та співвідношень екзогенних та ендогенних змінних. Спеціалістами в області моделювання це питання розв’язується по різному, в результаті чого аналогічні за призначенням моделі суттєво відрізняються кількістю показників та характером їх взаємозв’язків.

При визначенні складу та структури показників, які включаються в економетричні моделі, треба виходити з того, що вони повинні відповідати призначенню моделі та потребам економіки в перехідний період. Найкраще це питання можуть вирішити працівники планових органів сумісно з розробниками моделі. При цьому в модель треба включати таку кількість соціально-економічних показників, яка необхідна для розробки та прийняття керуючих рішень згідно з цілями та задачами розвитку об’єкта.

Значення кожного показника та його використання для аналізу та прогнозування слід визначати на попередній стадії розробки моделей. У різних моделях ці питання розв’язуються по-різному, що призводить до суттєвих розходжень у змісту аналогічних рівнянь.

Для моделювання взаємозв’язків макроекономічних показників на окремих стадіях процесу відтворення включаються такі стандартні функції:

• виробнича, відображаюча залежність випуску продукції від виробничих ресурсів, головним чином робочої сили і основних фондів. Якості фактори виробництва враховуються також природні ресурси і тренд (основна тенденція) науково-технічного прогресу;

• інвестиційна, яка характеризує залежність обсягу капітальних вкладень від виробленого національного доходу або випуску продукції, потреби в основних фондах, амортизаційних відрахувань і деяких інших факторів;

• функції попиту і споживання (рівняння моделюють залежність попиту від величини грошових доходів населення і розмірів сім’ї, а споживання – від рівня цін, обсягів виробництва, імпорту;

• зайнятості, яка відображає залежність величини трудових ресурсів від чисельності населення в працездатному віці та різних демографічних факторів;

• функції міжрегіонального обміну, які характеризують залежність імпорту і експорту продукції від показників регіонального виробництва, споживання, індексів цін і деяких інших.

При побудові економетричних моделей прогнозування виникає необхідність в попередньому змістовному аналізі взаємозв’язків показників. Потреба в такому аналізі зумовлена тим, що методи математичної статистики, які застосовуються при побудові рівнянь, лояльні щодо економічного змісту цих показників

Випадкові зв’язки між змінними часто призводять до неправильної кореляції, особливо при роботі з часовими рядами. Таким чином, статистичні методи аналізу часто призводять до формальних результатів і не дозволяють встановлювати принципові взаємозв’язки показників, а високий коефіцієнт кореляції створює видимість тісних зв’язків. Економічний аналіз дозволяє частково усунути ці недоліки. Для визначення кількості та структури економічних показників та виявлення основних залежностей між ними доцільно застосувати методи експертних оцінок. В різних моделях системи кількість ендогенних змінних та співвідношення між ними різні. Намагання повністю виключити екзогенні змінні приводять до розробки економетричних моделей у вигляді замкнутих систем. Такий підхід має як переваги, так і недоліки. Намагання виразити одні змінні моделі через інші призводять інколи до встановлення формальних випадкових зв’язків, які не мають нічого спільного з причинно-наслідковими взаємозв’язками системи, до побудови методологічно необґрунтованих рівнянь, через що виникають прорахунки та похибки при виконанні прогнозних робіт. Тому не завжди доцільно виключати з них всі екзогенні змінні. Окремі показники можна розраховувати автономно. Нема необхідності обчислювати в моделях показники, для визначення яких існують досить надійні, перевірені методи та методики, які забезпечують необхідну точність результатів.

Розв’язання задачі екстраполяції зводиться до знаходження залежності, Y=f(x), яка з достатньою точністю описує поведінку змінної в минулому і разом з тим визначена також і для деякого інтервалу часу в майбутньому. На практиці віддають перевагу розв’язку у вигляді полінома найменшого степеня.

Задовільна екстраполяція залежить від правильного вибору екстраполяційної функції . Розв’язання цього питання досить складне, тим більше, що з-за випадкових похибок. Одним з методів, який дозволяє (хоча б частково) зменшити похибку є метод вирівнювання на основі простого усереднення.

Проста (парна) ЛР модель встановлює зв’язок між двома змінними: х та у і має вигляд:

у = b + a х + e,                                     (1)

де у – вектор значень, що спостерігаються залежної змінної (показник);

х – вектор значень, що спостерігаються незалежної змінної (фактор);

a, b – невідомі параметри регресійної моделі на всій сукупності значень х;

e – вектор випадкових величин (помилок).

 

Регресійна модель (2) лінійна, оскільки є лінійний зв’язок між показником і фактором. Параметри a, b – статистичні невідомі значення, оцінимо їх величинами a, b, тоді

ŷ = aх + b                                         (2)

є оцінкою моделі у = b + a х + e.

Оцінка параметрів ЛР методом найменших квадратів (МНК)

                                (3)

Система (3) називається нормальною системою. Використовуючи формули Кармера знайдемо a:

,                              (4)

та

,                                         (5)

Визначення параметрів ЛР через числові характеристики показника факторів.

Випишемо формулу для а

                 (6)

                   (7),

Отже, проста ЛР виражена через середнє значення показника і фактора, коваріацію і дисперсію фактора.