Загальна характеристика методів математичного моделювання систем

До найпоширеніших видів математичних моделей, які використовуються на практиці для моделювання економічних систем, можна віднести моделі математичного програмування, статистичні моделі, моделі теорії масового обслуговування, управління запасами та теорії ігор.

Моделі математичного програмування (МП) застосовують для визначення оптимального способу розподілу обмежених ресурсів за наявності конкуруючих потреб.

Усі задачі МП мають подібну структуру. Їх можна визначити як задачі мінімізації (максимізації) m -вимірного показника (функціонала) ефективності , n- вимірного векторного аргументу , компоненти якого задовольняють систему обмежень-рівностей  та обмежень-нерівностей

Усі задачі МП можна класифікувати за виглядом та розмірністю функцій  і розмірністю та типом вектора x:

• однокритеріальні задачі МП –  – скаляр;

• багатокритеріальні задачі МП –  – вектор;

• детерміновані задачі МП – дані детерміновані;

• стохастичні задачі МП – дані ймовірні.

Найчастіше застосовуються задачі лінійного програмування (у зв’язку з простотою їх розв’язання). Згідно з результатами опитування журналом «Фортун» віце-президентів 500 західних компаній моделі лінійного програмування та моделі управління запасами є найпоширенішими у промисловості. Лінійне програму­вання, як правило, використовують спеціалісти підрозділів для розв’язання виробничих проблем.

У загальному випадку задача лінійного програмування формулюється так: знайти екстремум цільової функції

за наявності обмежень:

де  – задані постійні величини.

Як відомо (див., наприклад, [6, 47]), розв’язок таких задач можна знайти симплекс-методом.

Серед типових варіантів застосування задач лінійного програмування при системному дослідженні проблем управління виробництвом можна навести такі:

• укрупнене планування виробництва, складання графіків виробництва, мінімізуючих загальні витрати;

• планування асортименту виробів (визначення оптимального асортименту продукції залежно від наявності обмежених ресурсів);

• маршрутизація виробництва продукції (визначення оптимального технологічного маршруту виготовлення виробу), що має послідовно пройти через кілька технологічних операцій, кожна з яких характеризується своїми витратами та продуктивністю);

• управління технологічним процесом;

• регулювання запасів (наприклад, визначення оптимальної кількості товару на складі);

• календарне планування виробництва (складання календарних планів, мінімізуючих загальні витрати через урахування витрат на зберігання запасів, оплату за понаднормовану роботу тощо);

• планування розподілу продукції (складання оптимального графіка відвантаження продукції з урахуванням розподілу її між іншими виробничими підприємствами та складами, складами та магазинами);

• визначення оптимального варіанта підвищення виробничих потужностей (наприклад, визначення найкращого місця побудови нового заводу через оцінку витрат на транспортування між альтернативними місцями розміщення виробництва та місцями постачання сировини і збуту готової продукції);

• календарне планування транспорту;

• розподіл працівників.

Статистичні моделі застосовують для з’ясування причинно-наслідкових зв’язків між економічними факторами, визначення кількісного та якісного впливу одних чинників на інші. Окрім цього, статистичні моделі застосовують до задач економічного прогнозування (моделі екстраполяції, часових рядів, регресійні моделі тощо).

Найпоширенішими є лінійні множинні регресійні рівняння, які можна подати у матричному вигляді:

де  — відповідно вектори залежної змінної, невідомих параметрів та випадкової похибки розмірністю ;

n — кількість спостережень;

X — матриця пояснюючих змінних (факторів) розмірністю ;

k — кількість факторів:

Тоді при виконанні класичних допущень методу найменших квадратів (МНК) оцінки невідомих параметрів можна знайти (див., наприклад, [19]) за допомогою МНК:

Для моделювання складних економічних процесів (наприклад, при моделюванні секторів економіки) застосовують системи економетричних рівнянь.

Моделі теорії масового обслуговування застосовують для визначення оптимальної кількості каналів обслуговування стосовно потреби у них та дають можливість мінімізувати витрати у разі значної їх нестачі. Ці моделі застосовують у сфері транспорту, обслуговування тощо (для систем телекомунікацій, банківських установ, кас з продажу авіа- та залізничних квитків, супермаркетів, автозаправок, перукарень тощо). Окрім цього ТМО можна застосовувати для дослідження систем управління, в яких існує необхідність перебувати в стані очікування. Це є наслідком ймовірнісного характеру виникнення вимоги в обслуговуванні.

Моделі управління запасами застосовуються для визначення часу на розміщення замовлень на ресурси та необхідного обсягу цих ресурсів, а також обсягу готової продукції на складах. Будь-яка організація повинна підтримувати певний рівень запасів на складах для запобігання виникненню затримок на виробництві та у збуті. Метою застосування цих моделей є мінімізація негативних наслідків нагромадження запасів, що пов’язані з певними витратами: на розміщення замовлень, на зберігання запасів, а також втратами, що спричиняються недостатнім обсягом запасів.

Моделі теорії ігор. Ігрові задачі передбачають участь у активній взаємодії двох сторін або гравців: керуючої системи, яка визначає стан об’єкта та має забезпечити ефективне управління (екстремальне значення цільової функції) та середовища (наприклад, дії конкурентів), що формує вплив, який погіршує ефективність управління системою.

Необхідно зауважити, що значне різноманіття математичних методів і моделей, що використовуються в системному аналізі, та обмежений обсяг посібника не дають можливості розглянути їх детальніше. Але найпоширеніші методи вивчаються в курсах блоку економіко-математичних дисциплін: економіко-математичне моделювання, економетрика, методи оптимізації, дослідження операцій, методи прогнозування, математичне програмування тощо.

ПИТАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ

1. Класифікація моделей.

2. Види моделей.

3. Застосування планових моделей у виробництві.

4. Основні виробничі моделі.

Література: [1-2, 4, 5-8, 15, 16, 19, 23].