Ряды Тейлора и их приложения.

В конце прошлого параграфа изучали степенные ряды и находили суммы S(x). Обратная задача: дана функция, надо представить её в виде степенного ряда, т.е. «разложить в степенной ряд».

Ряд  - разложение функции  в степенной ряд в окрестности точки , он называется рядом Тейлора этой функции. Соответственно, для действительных функций,

.

       Докажем с помощью интегральной формулы Коши, что верно разложение в ряд Тейлора не только для функций действительного переменного (1 семестр), но и для комплексных функций.

Теорема (о разложении в ряд Тейлора).

Пусть  является аналитической в окрестности точки .

Тогда она представима в виде степенного ряда:

 , где .

Доказательство.    Рассмотрим окрестность точки  и какую-нибудь точку , лежащую внутри неё. Пусть граница окрестности - кривая , а точку на ней обозначим .

Можно записать интегральную формулу Коши для точки в таком виде:   (здесь  и  имеют такой же смысл, как ранее было  и ).

Изучим  дробь  подробнее. Можно прибавить и отнять :

 =  а дальше преобразовать к виду суммы геометрической прогрессии, чтоб воспользоваться тем фактом, что . Причём выносить за скобку в знаменателе надо именно такой из двух блоков, чтобы получилось 1 и нечто меньшее по модулю, чем 1. Учитывая, что  на границе, а  внутри контура, то  ближе к , чем . Поэтому , т.е.

Тогда  =  =  =

. Подставим это выражение в интегральную формулу Коши вместо . Тогда  =  =  .

Оставим внутри знака интеграла только те множители, которые зависят от . Получим   но оставшийся внутри суммы интеграл можно преобразовать по обобщённой интегральной формуле Коши из теоремы 3, ведь если    то .

Тогда  = .

Что и требовалось доказать: получилось разложение в ряд Тейлора с коэффициентами .

 

Метод определения круга сходимости. Если дана функция, и требуется разложить в ряд Тейлора по степеням  то радиус круга сходимости определяется расстоянием от центра, а именно точки  до ближайшей точки разрыва.

 

Пусть . Если надо разложить её в ряд вида , то центр , а ближайшая точка, где ряд точно расходится, это точка разрыва . Тогда круг сходимости как раз и будет .

Пример. Разложить  в степенной ряд (ряд Тейлора). Первый способ - найти производные до любого порядка n, и подставить их в формулу.

 = . Тогда: 

 =  = .

 =

 = , и.т.д.

В точке 0 n-я производная равна n!

Тогда  =  = .

Но не обязательно так искать все производные и устанавливать закономерность при их вычислении. Иногда количество слагаемых при дифференцировании экспоненциально возрастает (если было произведение) на каждом шаге в 2 раза и равно , так что напрямую по формуле считать не всегда удобно. Второй способ - получать разложение сразу, используя геометрическую прогрессию.  Применяем формулу суммы прогрессии  при этом желательно заранее вынести все множители из числителя за пределы дроби, чтобы «очистить» числитель до 1, этим самым мы обеспечиваем то, что можно пользоваться упрощённой формулой суммы прогрессии , где .

Итак, . Заметим, что при  эта функция может рассматриваться как сумма прогрессии (т.е. уже свёрутая по формуле суммы). Здесь знаменатель прогрессии . Тогда  как видим, то же самое и получили.

 

Рассмотрим разные модификации для других случаев.

 

Пример. Разложить в ряд Тейлора с помощью геометрической прогрессии:  по степеням , то есть в круге с центром 0.

Сумма вместо разности вовсе не является препятствием к тому, чтобы использовать прогрессию, запишем   тогда  и

 если в знаменателе сумма, получается знакочередующийся ряд.

 

Пример. Разложить в ряд Тейлора с помощью геометрической прогрессии:  по степеням .

Решение.  =  =  =  .

Пример. Разложить в ряд Тейлора с помощью геометрической прогрессии  по степеням , то есть в круге с центром в точке 1.

Здесь мы сначала определим круг сходимости. От точки 1 до точки разрыва  равно 2, так что разложение в ряд возможно в круге .

Отделим разность  искусственным путём, т.е. прибавим и отнимем 1.

= . А теперь далее не раскрываем блок  вплоть до ответа, то есть эта скобка так и будет как единое целое.

=  =  = . Заметим, что при этом знаменатель прогрессии , он должен быть меньше 1 по модулю, но так и есть, ведь круг сходимости , как уже заметили раньше.

ЛЕКЦИЯ № 10.   3.11.2020

Приложения рядов Тейлора.

 

Вспомним некоторые разложения известных функций в ряды Тейлора.

Приближённые вычисления.

Значения функции в точке можно приближённо вычислять с помощью разложения в ряд Тейлора, более того, во всех калькуляторах и компьютерах именно так и запрограммировано. Каждая функция там задана просто в виде набора коэффициентов ряда, и при обращении к функции именно это и вычисляется автоматически, с той точностью, с которой позволяет разрядная сетка калькулятора.

Так, вычислим . Известно, что . Тогда

= Так, для первых шагов сразу получаем значение 2,5 затем прибавляется  и стало  а затем  станет  и так с каждым шагом всё ближе к .