Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Комплексные числа и действия над ними.
Система действительных чисел является неполной, так как не содержит корни некоторых многочленов, например . Если квадратичное уравнение имеет отрицательный дискриминант, то есть , то на действительной оси нет ни одного корня. Однако существует система условных, обобщённых чисел, где и такие уравнения тоже имеют решения. Они называются комплексными числами и геометрически соответствуют точкам на плоскости, а известная ранее действительная ось - это горизонтальная ось Ох в данной плоскости. Введено абстрактное понятие «мнимая единица» обозначающая «квадратный корень из минус 1». При этом получается . Геометрическая интерпретация. На плоскости, горизонтальная ось отождествляется со множеством действительных чисел, а мнимая ось, содержащая , перпендикулярна оси действительных чисел.
. Комплексные числа - ещё более абстрактное обобщение. Оно полезно при решении различных физических задач. Плоскость комплексных чисел есть расширение множества действительных чисел. Каждой точке на плоскости с координатами можно поставить в соответствие комплексное число, состоящее из действительной и мнимой части: . Проекция на действительную и мнимую ось называются действительной частью и мнимой частью комплексного числа. , . Если , то число это обычное действительное число. Сложение и вычитание комплексных чисел определяется покоординатно, как для обычных векторов в плоскости. = . Для вычитания аналогично: = . Умножение. = , учитывая тот факт, что , получаем = . Таким образом, после раскрытия скобок, надо просто учесть и привести подобные. Пример. = = .
Определение. число называется сопряжённым к . Умножим два взаимно сопряжённых комплексных числа: = = = , получилось действительное число. Мы заметили, что при умножении на сопряжённое мнимая часть станет 0. Этот факт можно использовать для процедуры деления. Если домножить на сопряжённое в знаменателе, то там получится действительное число, и это даст возможность разбить на сумму двух дробей. При этом, конечно, в числителе тоже домножаем на сопряжённое к знаменателю, чтобы дробь не изменилась. = = = Пример. Вычислить . Решение. = = = = =
Поиск корней многочлена с отрицательным дискриминантом.
Пример. Найти корни уравнения . Решение. , = = = . Ответ. . Кстати, как видно, получаются именно 2 взаимно сопряжённых корня. Проверка. Подставим, например, в уравнение. = = = . Действительную и мнимую часть для числа можно выразить через . Докажем такие формулы: , Доказательство. Сложим и . = , тогда . Вычтем и . = , тогда . Тригонометрическая форма комплексного числа. Введём величину тогда можно представить в таком виде: , для некоторого , ведь геометрически в этом случае - катеты прямоугольного треугольника, - его гипотенуза. Абсцисса и ордината точки на плоскости это проекции на оси, они равны и соответственно. Эти величины и и есть полярные координаты точки на плоскости. Если записать комплексное число с помощью введённых выше величин и , получим: = = . Выражение называется тригонометрической формой комплексного числа, - его аргументом, - модулем. . Понятие модуля согласуется с известным понятием, применявшимся раньше для отрицательных чисел: модуль - расстояние по кратчайшей линии до начала координат. Для любой точки модуль вычисляется как . Для вычисления аргумента верна формула если точка в 4-й и 1-й четверти, либо , если во 2-й и 3-й четверти. Так, число запишется в виде . Число соответствует . Если вычислить синус и косинус, то снова перейдём к обычной, «алгебраической» форме числа: = = .
Действительное число имеет аргумент 0 (если оно положительно) или (если оно отрицательно).
Угол может определяться разными способами, так, например, вместо угла во всех вычислениях для комплексных чисел в тригонометрической форме можно использовать , и это не будет ошибкой, так как тригонометрические функции повторяются через промежуток .
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2020-11-22; просмотров: 93; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.135.247.76 (0.017 с.) |