Теория функций комплексного переменного.

Приходовский М.А.

Математика - 3 семестр

Курс лекций

Учебное пособие

Группы 519-1-2, 529, 539.

Томск

ТУСУР

2020

Оглавление по темам

Глава 1. Теория функций комплексного переменного.....................3

§ 1 Комплексные числа и действия над ними..........................................3

§ 2 Функции комплексного переменного.................................................15

§ 3. Дифференцирование комплексных функций....................................22

§ 4. Интегрирование комплексных функций............................................29

§ 5. Интегральная формула Коши............................................................36

§ 6. Особые точки и вычеты.....................................................................42

Глава 2. Теория рядов............................................................................ 57

§ 1. Числовые ряды..................................................................................... 57

§ 2. Функциональные ряды........................................................................69

§ 3. Степенные ряды...................................................................................71

§ 4. Ряды Тейлора и их приложения.........................................................74

§ 5. Ряды Лорана..............................................................................

§ 6. Ряды Фурье................................................................................

 

 

Оглавление по номерам лекций

Лекция № 1. 2.09.2020.........................................................3

Лекция № 2. 9.09.2020........................................................13

Лекция № 3. 16.09.2020......................................................21

Лекция № 4. 23.09.2020......................................................29

Лекция № 5. 30.09.2020......................................................36

Лекция № 6. 7.10.2020........................................................42

Лекция № 7. 14.10.2020......................................................52

Лекция № 8. 21.10.2020......................................................62

Лекция № 9. 28.10.2020......................................................71

Лекция № 10. 3.11.2020............................................

Лекция № 11. 17.11.2020.........................................

Лекция № 12.  1.12.2020..........................................

Лекция № 13. 15.12.2020........................................

ЛЕКЦИЯ № 1. 2.09.2020

Глава 1.

Теория функций комплексного переменного.

Поиск корней многочлена с отрицательным дискриминантом.

Пример. Найти корни уравнения .

Решение. ,  =  =  = .

Ответ. .

Кстати, как видно, получаются именно 2 взаимно сопряжённых корня.

Проверка. Подставим, например,  в уравнение.

 =  =  = .

Действительную и мнимую часть  для числа  можно выразить через .

Докажем такие формулы: ,

Доказательство.

Сложим  и .

 = , тогда .

Вычтем  и .

 = , тогда .

Тригонометрическая форма комплексного числа.   Введём величину  тогда  можно представить в таком виде: ,  для некоторого , ведь геометрически в этом случае  - катеты прямоугольного треугольника, - его гипотенуза.

Абсцисса и ордината точки  на плоскости это проекции на оси, они равны  и  соответственно. Эти величины  и  и есть полярные координаты точки на плоскости. Если записать комплексное число  с помощью введённых выше величин  и , получим: =  = .

Выражение  называется тригонометрической формой комплексного числа,  - его аргументом,  - модулем.

.

Понятие модуля согласуется с известным понятием, применявшимся раньше для отрицательных чисел: модуль - расстояние по кратчайшей линии до начала координат. 

Для любой точки  модуль вычисляется как  . Для вычисления аргумента верна формула   если точка в 4-й и 1-й четверти, либо , если во 2-й и 3-й четверти.

Так, число  запишется в виде .

Число  соответствует .

Если вычислить синус и косинус, то снова перейдём к обычной, «алгебраической» форме числа:

 =  = .

 

 

Действительное число имеет аргумент 0 (если оно положительно) или  (если оно отрицательно).

 

Угол может определяться разными способами, так, например, вместо угла  во всех вычислениях для комплексных чисел в тригонометрической форме можно использовать , и это не будет ошибкой, так как тригонометрические функции повторяются через промежуток .

 

Докажем эту формулу.

 = =

=

используем известные тригонометрические формулы косинуса суммы и синуса суммы, и получим . 

Примеры.

Умножить . Во-первых, это можно сделать и без триг.формы:

 =  = . 

В тригонометрической форме: (используем представление чисел, которое сделали ранее).

 = .    = .

 =  =

 =  =

 = .

Поделить .

 = ,  = . Тогда

 =  =

 =  = .

 

Формула Эйлера

Доказательство.

Способ 1.     

Производная по : 

 =  = . 

Способ 2. Вспомним разложение экспоненты по формуле Тейлора.   

Тогда вычислим  

Но ведь , , ,...

Тогда  теперь соберём в отдельные слагаемые все части, где нет , и где есть .

 но ведь в 1 и 2 скобках - разложения  и . Итак, , что и требовалось доказать.

 

 

 = , 

 =  =...

Воспользуемся чётностью cos и нечётностью sin. Тогда:  

= .

 

Для любого числа  можно вычислить : 

 =  =  =  = .

Для сопряжённого числа можно вычислить аналогично:

 =  =  =  = .

То есть, сопряжённое под знаком экспоненты приводит к сопряжённому результату.

ЛЕКЦИЯ № 2. 9.09.2020

Корни порядка n.   Корень порядка n вычисляется по такой формуле:

Доказательство. Если возведём в степень n, получим  =  .

Добавка  после возведения в степень станет кратной , то есть точка, отстоящая на угол , просто опишет один лишний оборот вокруг начала координат, то есть к аргументу добавится 360 градусов, и придёт в ту же точку, что и было бы без .

Пример. Найдите все значения корня .

Сначала представим комплексное число, которое находится под знаком корня, в тригонометрической форме.

Точка расположена на мнимой оси выше начала координат, поэтому аргумент , модуль .

Теперь находим все 3 корня.

при k = 0,1,2. , отсюда:

1)  =  =

2)  = =

3)  = =

Чертёж:

Если к исходному углу добавить 120 градусов, то для куба этого числа добавится 360 градусов, и результат будет точно такой же. С этим фактом как раз и связано наличие лишнего слагаемого  в формуле.

 

Квадратных корней два, а именно . Это происходит по той же причине: если число было положительным, то его аргумент был 0, и тогда по формуле  то есть

 =  = , что и соответствует  при  и . К аргументу прибавляется по 360 / 2 = 180 градусов. 

Доказательство.

Рассмотрим для действительного числа  и покажем, что данные функции, а именно  и , приведут именно к обычному синусу и косинусу действительного числа, т.е. они обобщают синус и косинус. Используя формулу Эйлера,

1)  =  =  =

2)  =  =  =

 

Неограниченность синуса и косинуса в комплексной плоскости.

Пример. .

Вычислим:  =  = .

 

Логарифм комплексного числа.

 

Обобщённый логарифм вводится с помощью формулы:  

()

Доказательство.

Проверим, совпадает ли  и  при любом целом .

 =  =  =  =

 =

синус и косинус не зависят от прибавления угла, кратного , поэтому получаем .

А это уже и есть тригонометрическая форма комплексного числа.  

Итак,  =  .

Если вычислять логарифм положительного действительного числа, то , т.е. одна точка из бесконечного множества попадает на действительную ось, потому что исходный угол . Для любого числа, которое не является действительным положительным, , поэтому происходит сдвиг этой последовательности на часть деления, и ни одна точка не попадёт на действительную ось.

Пример. Вычислить .

Здесь , . Поэтому  = .

Точки в комплексной плоскости: , , , и так далее.

Ни одного значения на действительной оси нет, и здесь, по сравнению со значениями логарифма положительного числа, сдвиг на половину деления: одна точка ушла вверх с действительной оси, а другая ещё не достигла этой оси. Чертёж:

 

Здесь легко сделать и проверку:  =  =  = , то есть действительно, .

  Пример. Вычислить .

 = . Последовательность значений такова:  каждая соседняя пара отличается на  по высоте. Здесь сдвиг вверх всего на четверть деления, а не на половину, как для .

1) При фиксированном модуле исходного числа и увеличении его аргумента, эта последовательность точек плывёт вверх, при полном повороте на  как раз следующая точка попадёт на место предыдущей.

2) При фиксированном аргументе исходного числа и увеличении его модуля, эта последовательность точек плывёт вправо, если исходная точка внутри единичной окружности то множество значений логарифма в левой полуплоскости, так как , а если вне единичной окружности, то в правой полуплоскости.

Динамическая анимация, показывающая поведение значений  в зависимости от колебаний модуля или аргумента , показана в следующем обучающем видеоролике: 

http://www.youtube.com/watch?v=LKFFn-TSLd0 

 

Замечание. Единственная точка в комплексной плоскости, для которой не существует логарифма, это 0. Ведь в этом случае , и не существует .

 

Пример. Вычислить .

Решение. Представим , расположенную в основании, в виде . Тогда , причём чуть выше мы вычисляли

. Тогда  =  =  т.е. получается бесконечное множество точек на действительной оси.

 

       Для всякой функции  можно отдельно выделить действительную и мнимую части, и представить в виде

. Таким образом, возникают понятия: действительная и мнимая часть функции, обозначения: , . Итак, комплексной функции можно поставить в соответствие некоторое отображение из  в , а именно . Но график такого отображения был бы в 4-мерном пространстве, поэтому изобразить его в нашем 3-мерном пространстве невозможно. Но мы можем пользоваться неким подобием графика, а именно, рассматривать чертёж искажений плоскости, изучать, в какие линии отображаются горизонтальные либо вертикальные линии из исходной плоскости.

Пример.  Разложить  на сумму действительной и мнимой частей, изобразить искажения плоскости при переходе .

1)  =  =  = .

Таким образом, , .

Чтобы исследовать, куда переходят горизонтальные прямые, зафиксируем , при этом  изменяется от  до , пусть движение задано с помощью параметра :

.

Чтобы составить уравнение, взаимосвязывающее , и узнать, какая это кривая, исключим параметр , выразив из второго уравнения: , тогда . Это парабола, лежащая на боку, ветвями направленная вправо, причём чем больше , тем левее вершина, и тем более пологая парабола получается, ведь  при этом меньше. А если , то возникает предельный случай: обе ветви смыкаются в одну линию и образуют правую полуось. Действительная ось отображается на правую полуось в плоскости .

Аналогично, для какой-либо вертикальной прямой:

. Тогда, исключая параметр , получим . Это параболы, направленные ветвями влево, симметричные тем, что были рассмотрены чуть выше.

На чертеже зелёным цветом показаны горизонтальные прямые и их образы при отображении , а красным - вертикальные прямые и их образы:

Примечание. 4-мерный график можно было бы рассматривать таким образом: нужно как минимум 4 проекции на координатные пространства, а именно 0xyz, 0xzw, 0xyw, 0yzw.

Либо можно рассмотреть 2 поверхности, построенные по функциям  и .

Пример.  Разложить  на сумму действительной и мнимой частей.

Используем то, что нашли ранее: , тогда

 = = .

Здесь .

Пример.  Разложить  на сумму действительной и мнимой части.

По формуле Эйлера:  =  =  =  = , тогда , . 

 

ЛЕКЦИЯ № 3. 16.09.2020

       Изучим подробнее линейное отображение, какие деформации плоскости происходят при действии линейной функции вида , где коэффициенты ,  это тоже некоторые комплексные числа. При этом очевидно, что  приводит к сдвигу плоскости на вектор , поэтому сначала более подробно изучим именно  без сдвига.

 = . Но такое отображение можно представить с помощью линейного оператора:

 = .

Введём величину , тогда существует какой-то угол  , для которого , . Причём заметим, что это именно ,  для исходного комплексного числа.

Тогда матрица линейного оператора имеет вид (домножим и поделим на квадратный корень):

 =  =  =  то есть это композиция растяжения и поворота плоскости, причём поворот на угол , а растяжение или сжатие на .

Доказали, что линейное отображение  в комплексной плоскости есть композиция растяжения, поворота и сдвига.

 

       На этом чертеже показано, как изменяется плоскость при линейном отображении. Красным веделено горизонтальное направление, после отображения оно повёрнуто.

      

 Замечание. Отображение  соответствует зеркальному отражению плоскости, т.е. оно не сводится к композиции поворота и растяжения.

      

Достаточность.

Пусть выполнены условия Коши-Римана  и .

Тогда производная матрица отображения  содержит не 4 разных константы, а две из них выражаются через две другие, то есть матрица имеет вид: . 

Тогда, с точностью до бесконечно-малых, .

Тогда

 

,

Сложим эти 2 равенства, умножив при этом второе на . Получим:

, то есть , что и означает дифференцируемость .

Теорема доказана.

 

       Вывод. Итак,  и  должны быть взаимосвязаны, т.е. если мы произвольно зададим две какие-то функции ,  и составим из них , то не всегда получим какую-то дифференцируемую комплексную функцию.

Пример. Проверить выполнение условий Коши-Римана для функции .

 =  =  = .

, .

,  они равны (1-е условие Коши-Римана).

,  они противоположны (а это и есть

2-е условие Коши-Римана).

А сейчас мы рассмотрим функцию, для которой не выполнены условия Коши-Римана.

Пример. . Тогда , . Не выполняется 1-е условие: , , они не равны ни в одной точке. Геометрически это означает, что зеркальное отражение плоскости невозможно представить в виде композиции растяжения и поворота, то есть невозможно равенство из условия дифференцируемости .

Решение.  Способ 1.

Производная как от единой функции :

 = , что в точке  равно .

Способ 2.

По компонентам , достаточно лишь : 

 =  = ,

в точке  означает что в , т.е. данные функции надо вычислить в точке , что составляет . 

Теорема 2.  дифференцируемая функция  векторные поля

 и  являются потенциальными.

Доказательство. Вспомним условие потенциальности поля , а именно, . Для векторного поля  в таком случае, , , и тогда условие потенциальности эквивалентно первому условию Коши-Римана  .

Для векторного поля  соответственно, , , и тогда условие потенциальности эквивалентно второму условию Коши-Римана: .

.

Определение. Если функция дифференцируема и в самой точке , и во всех точках некоторой её окрестности, то она называется аналитической в точке .

Пример. Для функции  условия Коши-Римана выполняются независимо от точки, то есть во всех точках плоскости, тогда для каждой точки они автоматически выполнены и во всей её окрестности. Таким образом,  аналитическая во всех точках комплексной плоскости.

Различие понятий аналитичности и дифференцируемости видно на другом примере.

Пример. . Распишем её через .

 =  = . Здесь , .

,  .

1-е условие Коши-Римана выполняется только при

, .

2-е условие Коши-Римана выполняется только при .

Таким образом, единственная точка в плоскости, где выполнены условия Коши-Римана, это (0,0). Но ни в одной точке из её окрестности они не выполняются, а только в одной изолированной точке . То есть, в начале координат функция дифференцируемая, но не аналитическая.

 

Теорема 3. Если функция является аналитической в некоторой области D, то для каждой из её частей (действительной и мнимой)  в этой области выполняется уравнение Лапласа:

 и .

Доказательство.  

Запишем 2 условия Коши-Римана. Одно продифференцируем по переменной , а второе по :

.

Сложим теперь эти 2 равенства, но при этом смешанные производные 2 порядка от  при этом совпадают, они вычитаются и дают 0.

. Итак, .

Теперь снова запишем условия Коши-Римана, 1-е дифференцируем по , а второе по .

.

Теперь вычтем из 1-го равенства 2-е.

, тогда