Числовые ряды и признаки их сходимости

Пусть дана последовательность . Бесконечная сумма:   называется рядом.

Величина  называется частичной суммой. Часть, которая следует после слагаемого с номером n, называется остатком ряда. . Если сумма ряда обозначена , то:  = .

Для каждого ряда существует последовательность частичных сумм: 

 ведь мы можем произвести конечное суммирование от 1-го до 1-го, затем от 1-го до 2-го, от 1-го до 3-го и так далее, и так для каждого n.

Определение 1. Если сходится последовательность частичных сумм ряда, то и соответствующий ряд называется сходящимся.

Пример. Рассмотрим убывающую геометрическую прогрессию - кстати, прогрессия это один из важных частных случаев ряда.

Геометрическая интерпретация: возьмём квадрат 

Если закрасить половину, затем четверть квадрата, и каждый раз половину того, что осталось до целого, то мы никогда не превысим площадь квадрата, а закрашенная площадь будет приближаться к 1. 

Известна формула суммы бесконечной убывающей геометрической прогрессии: . В данном случае .

Лемма. Сходимость ряда эквивалентна сходимости любого из его остатков.

Доказательство. = . Частичная сумма содержит конечное количество слагаемых, она точно является конечным числом. Обозначим остаток через . Тогда . Если  конечно, то сумма двух конечных чисел  тоже конечна. А если сумма ряда, то есть , есть конечное число, то  разность двух конечных чисел, а значит тоже конечное число. Таким образом, имеет место и необходимость, и достаточность.

 

Более подробное определение сходимости с помощью : 

Определение 2. Ряд  называется сходящимся, если для всякого  существует такой номер , что .

Определения 1 и 2 эквивалентны: если, начиная с некоторого номера, сумма оставшихся элементов меньше любой заранее заданной погрешности, это и означает, что частичные суммы стабилизируются при , то есть существует предел . Последовательность сходится, т.к.  , ведь  это и есть .

Теорема 1. Необходимый признак сходимости.

Если ряд сходится, то .

Доказательство. Так как остаток ряда стремится к нулю, то есть сумма  =  по модулю меньше чем , то одно первое слагаемое из остатка - тем более, меньше чем . Получается, что при росте номера , а значит и общий член ряда уменьшается к нулю, .

Замечание. Это необходимый, а не достаточный признак. Если , это ещё не всегда означает, что ряд сходящийся, а вот если общий член ряда не стремится к нулю, то ряд расходится, то есть такие ряды даже не надо исследовать, про них сразу же известно, что сходимости нет. Сейчас мы увидим пример, где слагаемые стремятся к 0, а сходимости всё же нет.

Гармонический ряд

Доказательство его расходимости. Возьмём сумму от элемента номер n+1 до 2n. Докажем, что она больше 1/2, то есть для произвольного , невозможно сделать её меньше, чем .

Если была бы сходимость, то для любого  остаток, начиная с какого-то номера, меньше чем . Запишем для n даже не весь остаток ряда, а его часть, а именно, последующие n элементов.

Наименьший элемент здесь . Если мы заменим все слагаемые на него, то сумма лишь уменьшится, т.е.

 >  = .

Итак, часть частичной суммы от номера n+1 до 2n больше, чем , то есть не может быть меньше . Определение сходимости не выполнено, ряд расходится. Здесь слагаемые уменьшаются к 0, но слишком медленно, недостаточно для сходимости.

 

 

       Суммы рядов в некоторых случаях можно найти, используя формулу Тейлора. Вспомним, например,  если здесь положим , то получается , то есть сумма .

Вспомним разложение функции , тогда при  получается .

Если все слагаемые здесь были бы со знаком «+» то это был бы гармонический ряд, расходимость которого доказали ранее.

Получается, что если знаки чередуются, то сходимость может быть из-за частичной компенсации слагаемых, а если взять по модулю, то сходимости может и не быть. В связи с этим возникают такие понятия: