Дифференцирование комплексных функций

 

       Функция  фактически задаёт отображение плоскости в плоскости, то есть пара действительных чисел  отображается в пару чисел . Для двух функций  и  существуют 4 частных производных: .

Определение производной. Производной функции  в точке  называется следующий предел: .

Также можно кратко записать в виде .

Заметим, что все величины в этой дроби, существуют и вычислимы, ведь здесь частное от разностей комплексных чисел.

Определение дифференцируемости. Функция  называется дифференцируемой в точке , если приращение функции можно представить в виде: , где  некоторое комплексное число,  - бесконечно малая более высокого порядка, чем .

Заметим, что если функция дифференцируема, то  , но тогда т.е.  тогда , т.е. константа .

Геометрический смысл производной. Так как с точностью до бесконечно-малой, можно представить , а это линейное отображение, изученное в конце прошлой лекции, то в малой окрестности отображение представимо в виде растяжения и поворота, где  это угол поворота, а  - коэффициент растяжения.

Замечание. Для функций действительного переменного, производная в точке - это действительное число, геометрический смысл производной - это тангенс угла наклона касательной. Тем не менее, там тоже имеет место и такой геометрический смысл, как коэффициент растяжения: чем больше производная, тем круче наклон касательной, тем больше  расстояния между проекциями точек на оси Оу. 

 

Изучим взаимосвязь дифференцируемости  с дифференцируемостью координатных функций  и .

Теорема 1. Функция  дифференцируема  и  дифференцируемы и выполняются условия Коши-Римана:

 и .

Доказательство.  

Необходимость. Пусть функция дифференцируема, выведем условия Коши-Римана. Запишем подробнее равенство из определения дифференцируемости: . .

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые, в которых есть и в которых нет мнимой единицы.

 

Получается такая система из двух равенств:

Выразим константу  двумя способами из этих равенств. Если в 1-м уравнении задать приращение только по оси , тогда , то  = , так как  бесконечно малая более высокого порядка, так что при делении на величину  первого порядка предел равен 0.

Итак, .

Если теперь во 2-м уравнении рассмотреть приращение только по оси , то аналогично получится  = , т.е. . Итак, .

По аналогии с этими рассуждениями, если в 1-м равенстве вычислять предел при сдвиге только по оси , а во 2-м по , получим

, , откуда второе условие Коши-Римана .

Достаточность.

Пусть выполнены условия Коши-Римана  и .

Тогда производная матрица отображения  содержит не 4 разных константы, а две из них выражаются через две другие, то есть матрица имеет вид: . 

Тогда, с точностью до бесконечно-малых, .

Тогда

 

,

Сложим эти 2 равенства, умножив при этом второе на . Получим:

, то есть , что и означает дифференцируемость .

Теорема доказана.

 

       Вывод. Итак,  и  должны быть взаимосвязаны, т.е. если мы произвольно зададим две какие-то функции ,  и составим из них , то не всегда получим какую-то дифференцируемую комплексную функцию.

Пример. Проверить выполнение условий Коши-Римана для функции .

 =  =  = .

, .

,  они равны (1-е условие Коши-Римана).

,  они противоположны (а это и есть

2-е условие Коши-Римана).

А сейчас мы рассмотрим функцию, для которой не выполнены условия Коши-Римана.

Пример. . Тогда , . Не выполняется 1-е условие: , , они не равны ни в одной точке. Геометрически это означает, что зеркальное отражение плоскости невозможно представить в виде композиции растяжения и поворота, то есть невозможно равенство из условия дифференцируемости .