Характеризация бесконечно-удалённой точки.

       Когда мы вычисляем предел в точке , он может быть конечным, бесконечным либо не существовать. Аналогично этому, подобные ситуации могут быть и при вычислении предела  при . Бесконечность не является точкой в плоскости, тем не менее, тип такого объекта как «бесконечно-удалённая точка» можно тоже классифицировать как и типы особых точек, с помощью предела.

       Существует геометрическая модель, в которой бесконечно-удалённая точка присутствует на равных с другими точками. Поместим сферу над плоскостью в начало координат. Если от верхней точки S провести любую наклонную прямую, то она 1 раз пересечётся со сферой и 1 раз с плоскостью. Таким образом, каждой точке комплексной плоскости можно однозначно поставить в соответствие точку на сфере. При этом единственная точка, для которой нет образа на плоскости - это точка S. Она соответствует горизонтальной касательной, и можно поставить ей в соответствие «бесконечно удалённую точку».

 

Если на плоскости точка устремится к , то её образ на сфере устремится к точке S.

 

Классификация  как особой точки происходит аналогично, как и было для точки :

 

Название	Устранимая особая точка	Полюс	Существенно-особая точка
При каком условии			не существует
Пример	=	=	=

Только в данном случае наоборот, полюс если степень m в числителе, а не в знаменателе. Например, для  полюс порядка m.

В задачах можно делать замену  и таким образом сводить изучение  к изучению поведения функции в точке .

Пример. Определить тип точки  для .

Решение. Сделаем замену , т.е. После этого функция изменит вид так:  =  =  .

Попутно заметим, что  а значит и  - полюс 3-го порядка.

Для точки , соответствующей , видим нуль 3-го порядка в числителе и 5-го порядка в знаменателе. Сократив дробь, можно получить . Тогда видно, что  полюс 2-го порядка, а значит,  полюс 2-го порядка.

Пример. Определить тип точки  для .

Решение. Сделаем замену , т.е. После этого функция станет , то есть  полюс порядка m, значит  полюс порядка m.

Пример. Определить тип точки  для .

Решение. Сделаем замену , т.е. После этого .

Если устремить  к 0 со стороны положительной полуоси, то получается . Если со стороны отрицательной полуоси, то . А если со стороны мнимой оси, то предел вообще не существует: при , , и при этом , при этом  = , т.е. при  не существует предел ни действительной, ни мнимой части. Итак, приближаясь к (0,0) на плоскости с разных сторон, получаем разные результаты, а при приближении по некоторым траекториям предел даже не существует.

Вывод: предел в точке  не существует,  а значит  это существенно-особая точка.

 

Вычеты.  

       Определение. Пусть  замкнутый контур, внутри него точка , на самом контуре и внутри него нет особых точек, кроме . Тогда интеграл  называется вычетом функции  в точке  и обозначается .

 

 

Формулы вычисления вычетов.

Если  простой полюс (т.е. 1-го порядка) то верна формула вычисления вычета:  = .

Если  - полюс порядка m, то верна формула вычисления вычета:  = .

 

Они напрямую следуют из обычной и обобщённой интегральных формул Коши. Кстати, первая формула - частный случай второй при .

Пример. Найти вычет .

Решение. Здесь точка  полюс порядка 3, конкретизируем формулу для этого порядка и этой точки:

= . Итак,  =  =  =  =  =  = 1.

 

Пример. Найти вычет .

Решение. Здесь точка  полюс 1 порядка. Поэтому

 =  =  = .

Пример *. Найти вычет .

Решение. Здесь точка  полюс 2 порядка. Поэтому

=  =   =

 =  = .

 

Основная теорема о вычетах. Если  является аналитической на некотором замкнутом контуре  и в области внутри него, за исключением конечного количества изолированных особых точек, то

.

Доказательство. По интегральной теореме Коши, интеграл по контуру  равен сумме интегралов по n контурам внутри него. 

Тогда . Но каждое слагаемое в этой сумме - интеграл по контуру вокруг одной особой точки, делённый на

, а по определению это и есть вычет в данной точке .

.

Вот и получается, что интеграл равен такой величине:  умножить на сумму вычетов.

Определение вычета в . Пусть  замкнутый контур, на контуре и вне его нет особых точек. Тогда интеграл  называется вычетом функции  в  и обозначается .

 

Когда мы рассматривали конечную точку , то при вычислении интеграла по контуру обходили его против часовой стрелки, чтобы точка оставалась слева. А чтобы например, линия горизонта (бесконечность) оставалась с левой стороны при движении, нужно круг обходить наоборот, именно по часовой стрелке. Поэтому-то здесь изначально в определении знак минус.

Теорема (следствие из основной теоремы о вычетах). Если  является аналитической во всей комплексной плоскости, за исключением конечного количества изолированных особых точек, то .

(Сумма вычетов во всех конечных особых точках + вычет в бесконечности равно 0).

Доказательство. Если в плоскости конечное количество особых точек, то среди них есть самая далёкая от начала координат. Тогда их все можно включить в круг некоторого радиуса. Ограничим все n особых точек замкнутым контуром  настолько большого радиуса , чтобы все они лежали внутри круга .

По определению вычета в , =  ,

а по прошлой теореме,  = .

Получается, что вычет в  противоположен сумме всех вычетов в конечных особых точках. Складывая эти 2 равенства, мы как раз и получим .

Чертёж. , ,...  - особые точки.  

Пример. Найти .

Решение. Заметим, что в знаменателе только , т.е. эта функция имеет всего лишь одну конечную особую точку. Тогда:

 = . То есть надо найти вычет в точке 2 и сменить знак.  =  =  = 2. Поэтому . 

 

ЛЕКЦИЯ № 7. 14.10.2020

Приложения вычетов