Математическое ожидание числа появления события в независимых испытаниях.

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна р. Чему равно среднее число появлений события А в этих испытаниях? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема:

Теорема. Математическое ожидание М(Х) числа появлений события А в n независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании:

М(Х) = np

Так как величина Х распределена по биномиальному закону, то данную теорему можно сформулировать и так: математическое ожидание биномиального распределения с параметрами n и р равно произведению np

 

Пример 41

Вероятность попадания в цель при стрельбе из орудия р = 0,6. Найти математическое ожидание общего числа попаданий, если будет произведено 10 выстрелов.

Решение:

Попадание при каждом выстреле не зависит от исходов других выстрелов, поэтому рассматриваемые события независимы и, следовательно, искомое математическое ожидание

М(Х) = np = 10 · 0,6 = 6 (попаданий)

Дисперсия дискретной случайной величины.

Легко указать такие случайные величины, которые имеют одинаковые математические ожидания, но различные возможные значения. Рассмотрим, например, дискретные случайные величины Х и У, заданные следующими законами распределения:

Х -0,01 0,01 У -100 100

р 0,5 0,5 р 0,5 0,5

Найдем математические ожидания этих величин:

М(Х) = -0,01 · 0,5 + 0, 01 · 0,5 = 0

М(У) = -100 · 0,5 + 100 · 0,5 = 0

Здесь математические ожидания обеих величин одинаковы, а возможные значения различны, причем Х имеет возможные значения, близкие к математическому ожиданию, а У – далекие от своего математического ожидания. Таким образом, зная лишь математическое ожидание случайной величины, еще нельзя судить ни о том, какие возможные значения она может принимать, ни о том, как они рассеяны вокруг математического ожидания. Другими словами, математическое ожидание полностью случайную величину не характеризует.

По этой причине наряду с математическим ожиданием вводят и другие числовые характеристики. Так, например, для того чтобы оценить, как рассеяны возможные значения случайной величины вокруг ее математического ожидания, пользуются, в частности, числовой характеристикой, которую называют дисперсией.

Прежде чем перейти к определениям и свойствам дисперсии введем понятие отклонения случайной величины от ее математического ожидания.

 

Отклонение случайной величины от ее математического ожидания.

Пусть Х – случайная величина и М(Х) – ее математическое ожидание. Рассмотрим в качестве новой случайной величины разность Х – М(Х).

Отклонением называют разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием.

Пусть закон распределения Х известен:

Х х₁ х₂ …. x_n

p р₁ р₂ …. p_n

Напишем закон распределения отклонения. Для того чтобы отклонение приняло значение х₁ – М(Х), достаточно, чтобы случайная величина приняла значение х₁. Вероятность же этого события равна р₁; следовательно и вероятность того, что отклонение примет значение х₁ – М(Х) также равна р₁. Аналогично обстоит дело и для остальных возможных значений отклонения.

Таким образом, имеет следующий закон распределения

Х – М(Х) х₁ – М(Х) х₂ - М(Х) … х_n – М(Х)

Р р₁ р₂ … р_n

Приведем важное свойство отклонения, которое используется дальше.

Теорема. Математическое ожидание отклонения равно нулю

М(Х - М(Х)) = 0

 

Пример 42

Задав закон распределения дискретной случайной величины Х:

Х 1 2

Р 0,2 0,8

Убедиться, что математическое ожидание отклонения равно нулю

Решение:

Найдем математическое ожидание Х:

М(Х) = 1 · 0,2 + 2 · 0,8 = 1,8

Найдем возможные значения отклонения, для чего из возможных значений Х вычтем математическое ожидание М(Х): 1 – 1,8 = -0,8

2 – 1,8 = 0,2

Напишем закон распределения отклонения:

Х – М(Х) -0,8 0,2

Р 0,2 0,8

Найдем математическое ожидание отклонения:

М(Х – М(Х)) = -0,8 · 0,2 + 0,2 · 0,8 = 0

Итак, математическое ожидание отклонения равно нулю, как и должно быть.

 

 

Наряду с термином «отклонение» используют термин «центрированная величина».

Центрированной случайной величиной Х⁰ называют разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием.

Х⁰ = Х – М(Х)

Название «центрированная величина2 связано с тем, что математическое ожидание есть центр распределения.