Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Математическое ожидание числа появления события в независимых испытаниях.
Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна р. Чему равно среднее число появлений события А в этих испытаниях? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема: Теорема. Математическое ожидание М(Х) числа появлений события А в n независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании: М(Х) = np Так как величина Х распределена по биномиальному закону, то данную теорему можно сформулировать и так: математическое ожидание биномиального распределения с параметрами n и р равно произведению np
Пример 41 Вероятность попадания в цель при стрельбе из орудия р = 0,6. Найти математическое ожидание общего числа попаданий, если будет произведено 10 выстрелов. Решение: Попадание при каждом выстреле не зависит от исходов других выстрелов, поэтому рассматриваемые события независимы и, следовательно, искомое математическое ожидание М(Х) = np = 10 · 0,6 = 6 (попаданий) Дисперсия дискретной случайной величины. Легко указать такие случайные величины, которые имеют одинаковые математические ожидания, но различные возможные значения. Рассмотрим, например, дискретные случайные величины Х и У, заданные следующими законами распределения: Х -0,01 0,01 У -100 100 р 0,5 0,5 р 0,5 0,5 Найдем математические ожидания этих величин: М(Х) = -0,01 · 0,5 + 0, 01 · 0,5 = 0 М(У) = -100 · 0,5 + 100 · 0,5 = 0 Здесь математические ожидания обеих величин одинаковы, а возможные значения различны, причем Х имеет возможные значения, близкие к математическому ожиданию, а У – далекие от своего математического ожидания. Таким образом, зная лишь математическое ожидание случайной величины, еще нельзя судить ни о том, какие возможные значения она может принимать, ни о том, как они рассеяны вокруг математического ожидания. Другими словами, математическое ожидание полностью случайную величину не характеризует. По этой причине наряду с математическим ожиданием вводят и другие числовые характеристики. Так, например, для того чтобы оценить, как рассеяны возможные значения случайной величины вокруг ее математического ожидания, пользуются, в частности, числовой характеристикой, которую называют дисперсией.
Прежде чем перейти к определениям и свойствам дисперсии введем понятие отклонения случайной величины от ее математического ожидания.
Отклонение случайной величины от ее математического ожидания. Пусть Х – случайная величина и М(Х) – ее математическое ожидание. Рассмотрим в качестве новой случайной величины разность Х – М(Х). Отклонением называют разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием. Пусть закон распределения Х известен: Х х1 х2 …. xn p р1 р2 …. pn Напишем закон распределения отклонения. Для того чтобы отклонение приняло значение х1 – М(Х), достаточно, чтобы случайная величина приняла значение х1. Вероятность же этого события равна р1; следовательно и вероятность того, что отклонение примет значение х1 – М(Х) также равна р1. Аналогично обстоит дело и для остальных возможных значений отклонения. Таким образом, имеет следующий закон распределения Х – М(Х) х1 – М(Х) х2 - М(Х) … хn – М(Х) Р р1 р2 … рn Приведем важное свойство отклонения, которое используется дальше. Теорема. Математическое ожидание отклонения равно нулю М(Х - М(Х)) = 0
Пример 42 Задав закон распределения дискретной случайной величины Х: Х 1 2 Р 0,2 0,8 Убедиться, что математическое ожидание отклонения равно нулю Решение: Найдем математическое ожидание Х: М(Х) = 1 · 0,2 + 2 · 0,8 = 1,8 Найдем возможные значения отклонения, для чего из возможных значений Х вычтем математическое ожидание М(Х): 1 – 1,8 = -0,8 2 – 1,8 = 0,2 Напишем закон распределения отклонения: Х – М(Х) -0,8 0,2 Р 0,2 0,8 Найдем математическое ожидание отклонения: М(Х – М(Х)) = -0,8 · 0,2 + 0,2 · 0,8 = 0 Итак, математическое ожидание отклонения равно нулю, как и должно быть.
Наряду с термином «отклонение» используют термин «центрированная величина». Центрированной случайной величиной Х0 называют разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием. Х0 = Х – М(Х) Название «центрированная величина2 связано с тем, что математическое ожидание есть центр распределения.
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-01-19; просмотров: 638; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.191.88.249 (0.007 с.) |