Достаточные признаки сходимости ряда с положительными членами.

а) Признак сравнения рядов с положительными членами.

Исследуемый ряд сходится, если его члены не превосходят соответствующих членов другого, заведомого сходящегося ряда; исследуемый ряд расходится, если его члены превосходят соответствующие члены другого заведомо расходящегося ряда.

При исследовании рядов на сходимость и расходимость по этому признаку часто используется геометрический ряд:

= a + aq + aq² + … + aqⁿ + … (a > 0)

который сходится при |q |< 1 и расходится при |q| ≥ 1 и гармонический ряд

являющийся расходящимся.

При исследовании рядов используется также обобщенный гармонический ряд

1 +

Если р = 1, то данный ряд обращается в гармонический ряд, который является расходящимся.

Если р < 1, то члены данного ряда больше соответствующих членов гармонического ряда и, значит, он расходится. При р > 1 имеем геометрический ряд, в котором |q |< 1; он является сходящимся. Итак, обобщенный гармонический ряд сходится при р > 1 и расходится при р ≤ 1.

б) Признак Даламбера

Если для ряда с положительными членами

(u_n > 0)

выполняется условие , то ряд сходится при l < 1 и расходится при l > 1.

Признак Даламбера не дает ответа, если l = 1. В этом случае для исследования ряда применяются другие методы.

Пример 11.

Найти сумму членов ряда

Решение:

Находим частичные суммы ряда:

S₁ = u₁ =

S₂ = u₁ + u₂ +

S₃ = u₁ + u₂ + u₃ =

S₄ = u₁ + u₂ + u₃ + u₄ =

………………………

Запишем последовательность частичных сумм:

Общий член этой последовательности есть . Следовательно,

.

Последовательность частичных сумм имеет предел, равный . Итак, ряд сходится и его сумма равна .

 

 

Пример 12.

Исследовать сходимость ряда, применяя необходимый признак сходимости и признак сравнения:

=

 

Решение:

Находим . Необходимый признак сходимости ряда выполняется, но для решения вопроса о сходимости нужно применить один из достаточных признаков сходимости. Сравним данный ряд с геометрическим рядом

который сходится, так как q = .

Сравнивая члены данного ряда, начиная со второго, с соответствующими членами геометрического ряда, получим неравенства

; ; …;

т.е. члены данного ряда, начиная со второго, соответственно меньше членов геометрического ряда, откуда следует, что данный ряд сходится.

 

 

Пример 13

Исследовать сходимость ряда, используя признак Даламбера:

 

Решение:

Подставив в общий член ряда вместо n число n + 1, получим, . Найдем предел отношения (n + 1) – го члена к n – му члену при :

Следовательно, данный ряд сходится

 

Знакопеременные и знакочередующиеся ряды. Абсолютная и

Условная сходимость. Признак сходимости Лейбница для

Знакочередующихся рядов. Степенные ряды. Разложение

Функций в степенные ряды.

 

Числовой ряд

u₁ + u₂ + u₃ + … + u_n + … (1)

называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные числа.

Числовой ряд (1) называется знакочередующимся, если любые два стоящие рядом члена имеют противоположные знаки. Этот ряд является частным случаем знакопеременного ряда.