Раздел 2 Основы теории вероятностей и математической статистики

Тема 2.1 Вероятность. Теорема сложения вероятностей

Основные понятия комбинаторики. Понятие события и вероятности события. Достоверные и невозможные события. Классические определения вероятностей. Теория умножения вероятностей.

Практическое занятие № 14 «Элементы комбинаторики.»*

Практическое занятие № 15 «Теорема сложения и умножения вероятностей.»

Практическое занятие № 16 «Формула полной вероятности.»*

 

Л3, глава 16, стр. 257 – 267

Методические указания

Элементы комбинаторики

Группы, составленные из каких – либо элементов, называются соединениями.

Различают три основных вида соединений: размещения, перестановки и сочетания.

Задачи, в которых производится подсчет возможных различных соединений, составленных из конечного числа элементов по некоторому правилу, называются комбинаторными.

Раздел математики, занимающийся их решением, называется комбинаторикой.

 

Размещения

Размещениями из n элементов по m в каждом называются такие соединения, которые отличаются друг от друга либо самими элементами (хотя бы одним), либо порядком их расположения.

Число размещений из n элементов по m обозначается символом и вычисляется по формуле

=n(n-1)(n-2)…(n-(m-1)) (1)

 

Перестановки

Перестановками из n элементов называются такие соединения из всех n элементов, которые отличаются друг от друга порядком расположения элементов.

Число перестановок из n элементов обозначается символом Р_n

Перестановки представляют собой частный случай размещений из n элементов по n в каждом, т.е.

P_n = = n(n – 1)(n – 2)…3.2.1

или

Р_n = 1 …(n – 1)n (2)

Число всех перестановок из n элементов равно произведению последовательных чисел от 1 до n включительно. Произведение

обозначают символом n! (читается «n – факториал»), причем полагают 0! = 1,

1! = 1. Поэтому равенство (2) можно переписать в виде

P_n = n! (3)

Используя формулу (3), формуле (1) можно придать вид

= (4)

При решении задач часто используется равенство:

(5)

 

Сочетания

Сочетаниями из n элементов по m в каждом называются такие соединения, которые отличаются друг от друга хотя бы одним элементом.

Число сочетаний из n элементов по m обозначается . Оно находится по формуле

= (6)

которую можно записать также в виде

= (7)

или

(8)

Кроме того, при решении задач используются следующие формулы, выражающие основные свойства сочетаний:

= (9)

(по определению полагают и )

+ (10)

 

 

Пример 18

Найти число размещений из 10 элементов по 4

Решение:

Согласно формуле (1), получим А

 

Пример 19

Вычислить значения выражения:

5! + 6!

Решение:

5! + 6! = = 120 + 720 = 840

 

Пример 20

Вычислить C

Решение:

C =

 

Случайные события. Вероятность события.. Теорема

Сложения вероятностей. Теоремы умножения вероятностей.