Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Понятие о дифференциальном уравнении.
Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию, ее производную (или дифференциал аргумента и дифференциал функции). Если дифференциальное уравнение содержит производную или дифференциал не выше первого порядка, то оно называется дифференциальным уравнением первого порядка. Общий вид такого уравнения F(x, у, у') =0, где y=f(x)-искомая неизвестная функция у' = f'(х) - ее производная по х, a F-заданная функция переменных х, у, у'. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция у = j(х, с) от х и произвольной постоянной С, обращающая это уравнение в тождество по х. Общее решение, записанное в неявном виде Ф(х, у, С) =0, называется общим интегралом. Частным решением уравнения F(x, у, у')=0 называется решение, полученное из общего решения при фиксированном значении С: y=j(x, С0), где С0 — фиксированное число. Частным интегралом уравнения F(x, у, у')=0 называется интеграл, полученный из общего интеграла при фиксированном значении С: Ф(х, у, С0) =0. График любого частного решения дифференциального уравнения F(x, у, у')=0 называется интегральной кривой. Общему решению (и общему интегралу) этого уравнения соответствует семейство интегральных кривых, зависящих от одного параметра. Задача нахождения частного интеграла дифференциального уравнения n-го порядка (n=1, 2, 3,...), удовлетворяющего начальным условиям вида у(х0) = у0, у'(х0) = y'0, y"(х0)=y"0…y(n-1)(х0) =yо(n-1)0 называется задачей Коши. Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка состоит в том, чтобы найти решение, удовлетворяющее начальному условию у(х0) = у0. Другими словами, из всех интегральных кривых данного дифференциального уравнения требуется выделить ту, которая проходит через данную точку (x0, y0).
Пример 2. Составить уравнение кривой y = f(x), если угловой коэффициент касательной, проведенной в любой точке кривой, равен 2х. Решение. Так как на основании геометрического смысла производной y'=kкас, то получим дифференциальное уравнение первого порядка: Чтобы найти искомую функцию y=f(x), надо проинтегрировать обе части уравнения òdy = ò2xdx. Отсюда получим общее решение дифференциального уравнения:
у = х2 + С. Геометрически это решение представляет собой семейство парабол с вершиной на оси Оу, симметричных относительно этой оси (рис. 68). Чтобы из общего решения выделить частное решение, надо задать начальные условия. Пусть у = - 1 при х = 1; тогда общее решение примет вид -1 = 1 + С, откуда С = - 2. Геометрически частное решение у = х2 - 2 представляет собой параболу, проходящую через точку (1,-1) (рис. 68).
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
Общий вид такого уравнения X(х)Y(у)dx + Х1(х)У1(у)dy=0, где Х(х), X1(x) - функции только от х, Y(y), Y1 (y) - функции только от у. Поделив обе части уравнения на произведение Х1 (х) Y(y)≠0, получим уравнение с разделенными переменными: Общий интеграл этого уравнения имеет вид Замечание. Если произведение X1(x)Y(y)=0 при х = а и у = b, то эти функции х=а и у=b являются решениями дифференциального уравнения при условии, что при этих значениях х и у уравнение не теряет числового смысла. Геометрически эти решения представляют собой прямые, параллельные осям координат.
Пример 3. Решить уравнение у dy = x dx. Найти частное решение, удовлетворяющее условию у = 4 при х = - 2. Решение. Это уравнение с разделенными переменными. Интегрируя, находим общее решение уравнения: Для получения более простого по форме общего решения постоянное слагаемое в правой части представлено в виде С/2. Тогда у2 = х2 + С Подставив в общее решение значения у = 4 и х = - 2, получим 16 = 4 + С, откуда С = 12. Итак, частное решение уравнения, удовлетворяющее данному условию, имеет вид у2 = х2 + 12.
Пример 4. Решить уравнение (1+ех)уу' = ех. Найти частное решение, удовлетворяющее условию у= 1 при х = 0. Решение. Так как , то , откуда (1+ех)уdy = ехdx Разделим обе части уравнения на 1 + ех: Интегрируя, находим или После потенцирования получим решение При у = 1 и х = 0 имеем е1/2 = С(1 + е0), = 2С, откуда С = /2. Итак, частный интеграл уравнения, удовлетворяющий данному условию, имеет вид
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
Общий вид такого уравнения у' =f(x)y+q(x) (1) где f(x) и q(x) - заданные функции от х. Это уравнение является линейным относительно искомой функции и ее производной.
Если q(x)=0, то линейное дифференциальное уравнение (1) называется однородным. Оно имеет вид у' =f(x)y и решается методом разделения переменных: где F(х)-некоторая первообразная функции f(x), a C = ±C1 - произвольная постоянная. Если f(x)=0, то уравнение (1) принимает вид у' = q(x) и решается методом разделения переменных: где Q(x) - некоторая первообразная функции q(x), a С - произвольная постоянная. Существуют различные приемы решения линейного неоднородного дифференциального уравнения. Рассмотрим два из них. 1. Этот прием решения основан на применении следующей теоремы: если у=j(х) - некоторое решение уравнения (1), то все решения этого уравнения задаются формулой еде - общее решение однородного уравнения. Иными словами, для нахождения общего решения уравнения (1) достаточно найти хотя бы одно его частное решение.
Пример 5. Найти общее решение дифференциального уравнения у' – у ctg х = sin x. Решение. Данное уравнение является линейным. Полагаем y=uv, тогда у'=u'v+v'u и уравнение преобразуется к виду u'v+v'u-uv ctg х = sin x, или u'v+u(v'-v ctg x) = sin x. Так как один множитель можно выбрать произвольно, то выберем в качестве v какой-либо частный интеграл уравнения v'-v ctg x=0. Тогда для отыскания u получим уравнение u'v = sin х. Решим уравнение v'-v ctg x=0; имеем В качестве v выбран частный интеграл уравнения при С = 0. Подставляя значение v во второе уравнение и решая его, найдем u, как общий интеграл этого уравнения: u' sin х = sin x, u' = 1, du = dx, u = x + С. Зная u и v, находим искомую функцию у: у = (x + С) sin x.
Пример 6. Найти частное решение дифференциального уравнения у'+2ху=2х2 , удовлетворяющее условию у=0 при x=0. Решение. Положим y = uv; тогда y' = u'v+v'u и данное уравнение примет вид u'v + uv' + 2xuv = 2х2 или u'v + u (v' + 2xv) = 2х2 . (*) Положим v'+2ху = 0; тогда Проинтегрировав, получим частное решение ln v =-х2, или v = - . При v= уравнение (*) примет вид u' =2x2 , du = 2x2dx, откуда Общее решение данного дифференциального уравнения: Подставив в это равенство начальные условия, получим 0 = е0(0+С), откуда С = 0. Итак, частное решение данного дифференциального уравнения, удовлетворяющее данному условию, имеет вид
|
||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-01-19; просмотров: 637; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.135.246.193 (0.021 с.) |