Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Раздел 1 Математический анализСтр 1 из 11Следующая ⇒
МАТЕМАТИКА
Методические указания и контрольные задания для студентов – заочников по специальностям 21.02.01 «Разработка и эксплуатация нефтяных и газовых месторождений», (базовой подготовки)
2014 рабочей программой по дисциплине «Математика» для специальности среднего профессионального образования (далее - СПО) 21.02.01 «Разработка и эксплуатация нефтяных и газовых месторождений» (базовой подготовки).
Организация-разработчик: государственное автономное образовательное учреждение среднего профессионального образования «Бугурусланский нефтяной колледж» г.Бугуруслана Оренбургской области
Разработчик: Громова В.А., преподаватель общеобразовательных дисциплин высшей квалификационной категории ГАОУ СПО «БНК» г.Бугуруслана Оренбургской области
Рассмотрены и рекомендованы предметной (цикловой) комиссией общеобразовательных дисциплин Протокол №______ от «___» ______________ 20 ___ г. Председатель П(Ц)К ________________ Н.А. Малюк
Согласованы методическим Советом Протокол №______ от «____» _____________ 20____ г. Председатель методического Совета ________________ Н.А. Бурова Содержание
Введение Учебная дисциплина «Математика» является дисциплиной общего гуманитарного и социально – экономического цикла в структуре основной профессиональной образовательной программы.
В результате освоения учебной дисциплины обучающийся должен уметь: - - решать прикладные задачи в области профессиональной деятельности. В результате освоения учебной дисциплины обучающийся должен знать: - значение математики в профессиональной деятельности и при освоении ППССЗ; - основные математические методы решения прикладных задач в области профессиональной деятельности; - основные понятия и методы математического анализа, линейной алгебры, теории комплексных чисел, теории вероятностей и математической статистики;
- основы интегрального и дифференциального исчисления
Максимальная учебная нагрузка обучающегося 96 часов, в том числе: обязательных аудиторных занятий 14 часов (в том числе 6 часов обзорных лекций, 8 часов на проведение практических занятий). 82 часа отводится на самостоятельную работу обучающегося Учебным планом предусмотрено выполнение 1 контрольной работы. В рамках промежуточной аттестации по завершении курса дисциплины предусмотрен экзамен.
1 Тематический план
2 Содержание учебной дисциплины и методические указания Раздел 1 Математический анализ Методические указания Функции двух переменных Переменная величина z называется функцией двух переменных величин х и у, если каждой паре допустимых значений х и у соответствует единственное значение z.
Функции двух переменных обозначаются символами z = f(x, y), z = F(x,y), z = z(x,y) и т. п. Значение функции z = f(x, y) при х = а, у = b обозначают через f(a, b). Упорядоченная пара значений х и у называется точкой М(х, у), а функция двух переменных – функцией этой точки z = f(М). Переменная величина u называется функцией трех переменных величин х, у и z, если каждой упорядоченной тройке значений х, у и z соответствует единственное значение u. Аналогично определяется функция n переменных. Множество всех точек, в которых определена функция n переменных, называется областью определения (существования) функции. Некоторую замкнутую область D на плоскости, ограниченную данными линиями, можно задать с помощью одной или нескольких систем неравенств вида а х b, f1(x) y f2(x) Пример 1 Вычислить полный дифференциал функции. z = х3 – 2х2у2 + у3 в точке М(1; 2) Решение: 1) Находим частные производные: 2) Вычислим значение частных производных в точке М(1; 2) ()М = 3 · 12 – 4 · 1 · 22 = -13 ()М = - 4 · 12 · 2 + 3 · 22 = 4 3) dz = - 13dx + 4 dy
Вопросы для самоконтроля: 1. Что называется первообразной? Перечислить свойства первообразной. 2. Что называется неопределенным интегралом? 3. Перечислить свойства неопределенного интеграла. 4. Перечислить основные формулы интегрирования. 5. Какие методы интегрирования вы знаете? 6. В чем заключается суть формулы Ньютона – Лейбница? 7. Дать определение определенного интеграла. 8. В чем суть вычисления определенного интеграла методом подстановки? 9. В чем суть метода вычисления определенного интеграла по частям? 10. Какая функция называется функцией двух переменных? Как она обозначается? 11. Какая функция называется функцией трех переменных? 12. Какое множество называется областью определения функции? 13. С помощью каких неравенств можно задать замкнутую область Д на плоскости? 14. Что называется частной производной функции z = f(x, y) по переменной х? Как она обозначается? 15. Что называется частной производной функции z = f(x, y) по переменной у? Как она обозначается? 16. Какое выражение называется полным дифференциалом функции z = f(x, y)?
Методические указания
Пример 2. Составить уравнение кривой y = f(x), если угловой коэффициент касательной, проведенной в любой точке кривой, равен 2х. Решение. Так как на основании геометрического смысла производной y'=kкас, то получим дифференциальное уравнение первого порядка: Чтобы найти искомую функцию y=f(x), надо проинтегрировать обе части уравнения òdy = ò2xdx. Отсюда получим общее решение дифференциального уравнения: у = х2 + С. Геометрически это решение представляет собой семейство парабол с вершиной на оси Оу, симметричных относительно этой оси (рис. 68). Чтобы из общего решения выделить частное решение, надо задать начальные условия. Пусть у = - 1 при х = 1; тогда общее решение примет вид -1 = 1 + С, откуда С = - 2. Геометрически частное решение у = х2 - 2 представляет собой параболу, проходящую через точку (1,-1) (рис. 68).
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
Общий вид такого уравнения X(х)Y(у)dx + Х1(х)У1(у)dy=0, где Х(х), X1(x) - функции только от х, Y(y), Y1 (y) - функции только от у. Поделив обе части уравнения на произведение Х1 (х) Y(y)≠0, получим уравнение с разделенными переменными:
Общий интеграл этого уравнения имеет вид Замечание. Если произведение X1(x)Y(y)=0 при х = а и у = b, то эти функции х=а и у=b являются решениями дифференциального уравнения при условии, что при этих значениях х и у уравнение не теряет числового смысла. Геометрически эти решения представляют собой прямые, параллельные осям координат.
Пример 3. Решить уравнение у dy = x dx. Найти частное решение, удовлетворяющее условию у = 4 при х = - 2. Решение. Это уравнение с разделенными переменными. Интегрируя, находим общее решение уравнения: Для получения более простого по форме общего решения постоянное слагаемое в правой части представлено в виде С/2. Тогда у2 = х2 + С Подставив в общее решение значения у = 4 и х = - 2, получим 16 = 4 + С, откуда С = 12. Итак, частное решение уравнения, удовлетворяющее данному условию, имеет вид у2 = х2 + 12.
Пример 4. Решить уравнение (1+ех)уу' = ех. Найти частное решение, удовлетворяющее условию у= 1 при х = 0. Решение. Так как , то , откуда (1+ех)уdy = ехdx Разделим обе части уравнения на 1 + ех: Интегрируя, находим или После потенцирования получим решение При у = 1 и х = 0 имеем е1/2 = С(1 + е0), = 2С, откуда С = /2. Итак, частный интеграл уравнения, удовлетворяющий данному условию, имеет вид
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
Общий вид такого уравнения у' =f(x)y+q(x) (1) где f(x) и q(x) - заданные функции от х. Это уравнение является линейным относительно искомой функции и ее производной. Если q(x)=0, то линейное дифференциальное уравнение (1) называется однородным. Оно имеет вид у' =f(x)y и решается методом разделения переменных: где F(х)-некоторая первообразная функции f(x), a C = ±C1 - произвольная постоянная. Если f(x)=0, то уравнение (1) принимает вид у' = q(x) и решается методом разделения переменных: где Q(x) - некоторая первообразная функции q(x), a С - произвольная постоянная. Существуют различные приемы решения линейного неоднородного дифференциального уравнения. Рассмотрим два из них. 1. Этот прием решения основан на применении следующей теоремы: если у=j(х) - некоторое решение уравнения (1), то все решения этого уравнения задаются формулой еде - общее решение однородного уравнения. Иными словами, для нахождения общего решения уравнения (1) достаточно найти хотя бы одно его частное решение.
Пример 5. Найти общее решение дифференциального уравнения у' – у ctg х = sin x. Решение. Данное уравнение является линейным. Полагаем y=uv, тогда у'=u'v+v'u и уравнение преобразуется к виду u'v+v'u-uv ctg х = sin x, или u'v+u(v'-v ctg x) = sin x. Так как один множитель можно выбрать произвольно, то выберем в качестве v какой-либо частный интеграл уравнения v'-v ctg x=0. Тогда для отыскания u получим уравнение u'v = sin х. Решим уравнение v'-v ctg x=0; имеем В качестве v выбран частный интеграл уравнения при С = 0. Подставляя значение v во второе уравнение и решая его, найдем u, как общий интеграл этого уравнения: u' sin х = sin x, u' = 1, du = dx, u = x + С. Зная u и v, находим искомую функцию у: у = (x + С) sin x.
Пример 6. Найти частное решение дифференциального уравнения у'+2ху=2х2 , удовлетворяющее условию у=0 при x=0. Решение. Положим y = uv; тогда y' = u'v+v'u и данное уравнение примет вид u'v + uv' + 2xuv = 2х2 или u'v + u (v' + 2xv) = 2х2 . (*) Положим v'+2ху = 0; тогда Проинтегрировав, получим частное решение ln v =-х2, или v = - . При v= уравнение (*) примет вид u' =2x2 , du = 2x2dx, откуда Общее решение данного дифференциального уравнения: Подставив в это равенство начальные условия, получим 0 = е0(0+С), откуда С = 0. Итак, частное решение данного дифференциального уравнения, удовлетворяющее данному условию, имеет вид
Решение. Составим характеристическое уравнение и найдем его корни: k2 – 5k +6 = 0, D = 25 – 24 = 1, Корни характеристического уравнения являются действительными и различными. Поэтому y1 = e2x, у2 = е3х - частные решения, а - общее решение данного дифференциального уравнения.
Пример 8. Найти общее решение дифференциального уравнения у" + 4у' + 4у = 0. Решение. Характеристическое уравнение k2 + 4k + 6 = 0 или (k+2)2 = 0 имеет действительные равные корни k1 = k2 = -2. Поэтому y1 = e-2x, у2 = хе-2х - частные решения, а у = е-2х(С1+С2х) - общее решение данного дифференциального уравнения.
Пример 9. Найти общее решение дифференциального уравнения у" + 6у' + 13у = 0 Решение. Составим характеристическое уравнение и найдем его корни: k2 + 6k + 13 = 0, D = 25 – 4×13 = 36-52 = -16, Корни уравнения являются комплексно-сопряженными. Поэтому у1= e-3xcos 2х, у2 = е-3х sin 2х - частные решения, а у = е-3х (C1 cos 2x+C2sin 2x) - общее решение данного дифференциального уравнения.
Пример 10. Найти частное решение дифференциального уравнения у"- 2у' + у = 0, удовлетворяющее начальным условиям при х = 0, у=4, у' = 2. Решение. Характеристическое уравнение k2 - 2k + 1 = 0 или (k-1)2 = 0 имеет действительные равные корни k1 = k2 = 1, поэтому у1 = ех, у2 = хех - частные решения, а у = ех(С1+С2х) -общее решение данного дифференциального уравнения. Для определения частного решения, удовлетворяющего данным начальным условиям, сначала найдем производную у' функции у = ех (C1 + С2x;): у' = ех (C1 + С2х) ' + (еx)' (C1 + С2х) = ех С2 + ех (C1 + С2х) = ех (С1 + С2 + С2х). Теперь подставим начальные условия в выражения для у я у': откуда C1 = 4, C2 = - 2. Подставив эти значения в общее решение, найдем частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее данным начальным условиям:
у = ех(4-2х).
Вопросы для самоконтроля
1. Какое уравнение называется дифференциальным? 2. Дайте определение дифференциального уравнения первого порядка. 3. Дайте определение общего решения и общего интеграла дифференциального уравнения первого порядка. 4. Дайте определение частного решения и частного интеграла дифференциального уравнения первого порядка. 5. Решите дифференциальные уравнения и найдите частные решения (частные интегралы), удовлетворяющие данным условиям: а) xdy = ydx, у = 6 при х = 2; б) (х2у - y)dy + (ху2 + х) dx = 0, y = 1 при х = 0; в) еy (1 + x2)dy - 2x(l +ey)dx = 0, у = 0 при х = 0; г) (x2 + 4) y' – 2xy = 0, y = 5 при х = 1. (Ответы. 5. а) у=Сх, у=3х; б) (y2+1) (х2-1)=С, (y1+1) (x2-1) =-2; в) 1+ey=C(1+x2), 1+ey=2(1+x2); г) y=C(x2+4), y=x2+4)
Тема 1.4 Ряды Числовые ряды. Сходимость и расходимость числовых рядов. Признак сходимости Даламбера. Знакопеременные ряды.* Абсолютная и условная сходимость рядов.* Функциональные ряды*. Степенные ряды*. Разложение элементарных функций в ряд Маклорена*. Практическое занятие № 10 «Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Признак Даламбера.» Практическое занятие № 11 «Знакопеременные и знакочередующиеся ряды. Абсолютная и условная сходимость.»* Практическое занятие № 12 «Нахождение радиуса и промежутка сходимости степенного ряда»* Практическое занятие № 13 «Разложение функций в ряд Маклорена.»*
Л4, глава 27, стр. 391 – 417
Методические указания Основные понятия. Числовым рядом называется сумма вида (1) где числа u1, u2, u3, … un, … называемые членами ряда, образуют бесконечную последовательность; член un называется общим членом ряда. Суммы S1 = u1, S2 = u1 + u2, S3 = u1 + u2 + u3, …………… Sn = u1 + u2 + u3 + … + un составленные из первых членов ряда (1), называются частичными суммами этого ряда. Каждому ряду можно сопоставить последовательность частичных сумм S1, S2, S3, …, Sn, …Если при бесконечном возрастании номера n частичная сумма ряда Sn стремится к пределу S, то ряд называется сходящимся, а число S – суммой сходящегося ряда, т.е. или Эта запись равносильна записи Если частичная сумма Sn ряда (1) при неограниченном возрастании n не имеет конечного предела (в частности, стремится к + или к - ), то такой ряд называется расходящимся. Если ряд сходится, то значение Sn при достаточно большом n является приближенным выражением суммы ряда S. Разность rn = S - Sn называется остатком ряда. Если ряд сходится, то его остаток стремится к нулю, т.е. , и наоборот если остаток стремится к нулю, то ряд сходится.
Геометрический ряд. Рассмотрим несколько случаев нахождения частичной суммы первых n членов ряда , образованного из членов геометрической прогрессии. 1. |q| < 1. Для нахождения частичной суммы Sn воспользуемся формулой суммы членов убывающей геометрической прогрессии: . где a1 – первый член, an = a1qn-1 - n-й член, q – знаменатель прогрессии. Следовательно Находим сумму ряда Поскольку первое слагаемое под знаком предела является постоянным, а второе – бесконечно малой величиной ( при ). Таким образом, в данном случае ряд сходится, а его сумма есть
2. |q| > 1. Частичную сумму Sn найдем по формуле суммы членов возрастающей геометрической прогрессии: Тогда сумма ряда так как первое слагаемое под знаком предела есть бесконечно большая величина ( при ). В этом случае ряд расходится.
3. q = 1. Находим Sn = а1 + а1 + а1 + … + а1 = а1n Следовательно, . Значит, в данном случае ряд расходится.
4. q = -1. Имеем S1 = a S2 = a – a = 0 S3 = a – a + a = f S4 = a – a + a – a = 0 ……………………. т.е. Sn = 0 при n четном и Sn = а при n нечетном.. Отсюда следует, что последовательность частичных сумм не имеет предела и, значит, ряд расходится. Итак, данный ряд сходится при |q |< 1 и расходится при |q| ≥ 1. Ряд вида будем называть геометрическим рядом.
Гармонический ряд. Ряд вида называется гармоническим. Запишем частичную сумму этого ряда Sn = (1 + Сумма Sn больше суммы, представленной следующим образом: Sn > (1 + или Sn > 1 + Если , то 1 + , или Sn = 1 + Следовательно, если , то Sn , т.е. гармонический ряд расходится.
Необходимый признак сходимости ряда . Ряд может сходиться только при условии, что его общий член un при неограниченном увеличении номера n стремиться к нулю: . Если , то ряд расходится – это достаточный признак расходимости ряда. Пример 11. Найти сумму членов ряда Решение: Находим частичные суммы ряда: S1 = u1 = S2 = u1 + u2 + S3 = u1 + u2 + u3 = S4 = u1 + u2 + u3 + u4 = ……………………… Запишем последовательность частичных сумм: Общий член этой последовательности есть . Следовательно, . Последовательность частичных сумм имеет предел, равный . Итак, ряд сходится и его сумма равна .
Пример 12. Исследовать сходимость ряда, применяя необходимый признак сходимости и признак сравнения: =
Решение: Находим . Необходимый признак сходимости ряда выполняется, но для решения вопроса о сходимости нужно применить один из достаточных признаков сходимости. Сравним данный ряд с геометрическим рядом который сходится, так как q = . Сравнивая члены данного ряда, начиная со второго, с соответствующими членами геометрического ряда, получим неравенства ; ; …; т.е. члены данного ряда, начиная со второго, соответственно меньше членов геометрического ряда, откуда следует, что данный ряд сходится.
Пример 13 Исследовать сходимость ряда, используя признак Даламбера:
Решение: Подставив в общий член ряда вместо n число n + 1, получим, . Найдем предел отношения (n + 1) – го члена к n – му члену при : Следовательно, данный ряд сходится
Функций в степенные ряды.
Числовой ряд u1 + u2 + u3 + … + un + … (1) называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные числа. Числовой ряд (1) называется знакочередующимся, если любые два стоящие рядом члена имеют противоположные знаки. Этот ряд является частным случаем знакопеременного ряда. Пример 14 Исследовать на сходимость (абсолютную или условную) знакочередующийся ряд: Решение: Члены данного ряда по абсолютной величине монотонно убывают: и Следовательно, согласно признаку Лейбница, ряд сходится. Выясним, сходится ли этот ряд абсолютно или условно. Ряд 1 + составленный из абсолютных величин членов данного ряда, является гармоническим рядом, который, как известно, расходится. Поэтому данный ряд сходится условно.
Пример 15 Используя признак Лейбница, установить сходимость ряда и оценить погрешность, допускаемую при замене суммы членов этого ряда суммой первых четырех его членов
Решение: знакочередующийся. Согласно признаку Лейбница, он сходится. Имеем S = S4 + r4, или S = 1 - , откуда S4 = 1 - ; S = 0,7986 + r4 Так как |r4| < |u5|, то |r4| < = 0, 04 (r4 > 0); следовательно, 0 < r4 < 0,04. Сумма ряда S 0,7986 (с недостатком) вычислена с погрешностью, не превышающей 0,04. Степенные ряды Степенным рядом называется ряд вида (3) где числа a0, a1, a2, …, an,… называются коэффициентами ряда, а член anxn – общим членом ряда. Областью сходимости степенного ряда называется множество всех значений х, при которых данный ряд сходится. Число R называется радиусом сходимости ряда (3), если при |х| < R ряд сходится и притом абсолютно, а при |x| > R ряд расходится. Радиус сходимости R можно найти, используя признак Даламбера: |x| < 1 (х не зависит от n), откуда |x| < (4) т.е. ряд (3) сходится при любых х, удовлетворяющих условию (4), и расходится при |x| > (5) Отсюда следует, что если существует предел R = (an 0, n = 1, 2, 3, …) (6) То радиус сходимости ряда R равен этому пределу и ряд (3) сходится при |х| < R, т. е. в промежутке - R < x < R, который называется промежутком (интервалом) сходимости. Если предел (6) равен нулю (R = 0), то ряд (3) сходится в единственной точке х = 0. На концах промежутка ряд может сходиться (абсолютно или условно), но может и расходиться. Стоимость ряда (3) при х = - R и при х = R исследуется с помощью какого – либо из признаков сходимости.
Пример 16 Дан ряд Исследовать его сходимость в точках х = 1, х = 3, х = -2
Решение: При х = 1 данный ряд превращается в числовой ряд Исследуем сходимость этого ряда по признаку Даламбера. Имеем: ; ; < 1, т. е. ряд сходится.
При х = 3 получим ряд или 1 + 2+ 3 + … + n + …, который расходится, так как не выполняется необходимый признак сходимости ряда ().
При х = - 2 получим или Это знакочередующийся ряд, который, согласно признаку Лейбница, сходится. Итак, в точках х = 1 и х = -2 ряд сходится, а в точке х = 3 расходится.
Пример 17 Найти промежуток сходимости степенного ряда:
Решение: Используя формулу (6) получим an = ; an+1 = R = Следовательно, промежуток сходимости есть - , т.е. данный ряд сходится на всей числовой оси
Вопросы для самопроверки: 1. Какая сумма называется числовым рядом? 2. Какие числа называются членами ряда? 3. Что такое общий член ряда? 4. Какие суммы называются частичными суммами ряда? 5. Какой ряд называется сходящимся? 6. Какой ряд называется расходящимся? 7. Какая разность называется остатком ряда? 8. Какой ряд называется геометрическим рядом? 9. Какой ряд называется гармоническим? 10. Сформулировать необходимый признак сходимости ряда? 11. Сформулировать признак сравнения рядов с положительными членами? 12. Сформулировать признак Даламбера. 13. Какой числовой ряд называется знакопеременным? 14. Сформулировать признак сходимости Лейбница для знакочередующихся рядов. 15. Какой знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся? 16. Какой знакопеременный ряд называется условно сходящимся? 17. Какой ряд называется степенным рядом? 18. Что называется областью сходимости степенного ряда? 19. Что называется радиусом сходимости степенного ряда? 20. Что называется промежутком сходимости? 21. Какой ряд называется рядом Тейлора? 22. Какой ряд называется рядом Маклорена?
Методические указания Элементы комбинаторики Группы, составленные из каких – либо элементов, называются соединениями. Различают три основных вида соединений: размещения, перестановки и сочетания. Задачи, в которых производится подсчет возможных различных соединений, составленных из конечного числа элементов по некоторому правилу, называются комбинаторными. Раздел математики, занимающийся их решением, называется комбинаторикой.
Размещения Размещениями из n элементов по m в каждом называются такие соединения, которые отличаются друг от друга либо самими элементами (хотя бы одним), либо порядком их расположения. Число размещений из n элементов по m обозначается символом и вычисляется по формуле =n(n-1)(n-2)…(n-(m-1)) (1)
Перестановки Перестановками из n элементов называются такие соединения из всех n элементов, которые отличаются друг от друга порядком расположения элементов. Число перестановок из n элементов обозначается символом Рn Перестановки представляют собой частный случай размещений из n элементов по n в каждом, т.е. Pn = = n(n – 1)(n – 2)…3.2.1 или Рn = 1 …(n – 1)n (2) Число всех перестановок из n элементов равно произведению последовательных чисел от 1 до n включительно. Произведение обозначают символом n! (читается «n – факториал»), причем полагают 0! = 1, 1! = 1. Поэтому равенство (2) можно переписать в виде Pn = n! (3) Используя формулу (3), формуле (1) можно придать вид = (4) При решении задач часто используется равенство: (5)
Сочетания Сочетаниями из n элементов по m в каждом называются такие соединения, которые отличаются друг от друга хотя бы одним элементом. Число сочетаний из n элементов по m обозначается . Оно находится по формуле
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-01-19; просмотров: 182; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.149.25.163 (0.36 с.) |