Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Тема 1.3 Дифференциальные уравнения в частных производных
Дифференциальные уравнения в частных производных.* Л4, глава 15, стр 243 – 256
Тема 1.4 Ряды Числовые ряды. Сходимость и расходимость числовых рядов. Признак сходимости Даламбера. Знакопеременные ряды.* Абсолютная и условная сходимость рядов.* Функциональные ряды*. Степенные ряды*. Разложение элементарных функций в ряд Маклорена*. Практическое занятие № 10 «Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Признак Даламбера.» Практическое занятие № 11 «Знакопеременные и знакочередующиеся ряды. Абсолютная и условная сходимость.»* Практическое занятие № 12 «Нахождение радиуса и промежутка сходимости степенного ряда»* Практическое занятие № 13 «Разложение функций в ряд Маклорена.»*
Л4, глава 27, стр. 391 – 417
Методические указания Числовые ряды. Необходимый признак сходимости ряда. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами Основные понятия. Числовым рядом называется сумма вида (1) где числа u1, u2, u3, … un, … называемые членами ряда, образуют бесконечную последовательность; член un называется общим членом ряда. Суммы S1 = u1, S2 = u1 + u2, S3 = u1 + u2 + u3, …………… Sn = u1 + u2 + u3 + … + un составленные из первых членов ряда (1), называются частичными суммами этого ряда. Каждому ряду можно сопоставить последовательность частичных сумм S1, S2, S3, …, Sn, …Если при бесконечном возрастании номера n частичная сумма ряда Sn стремится к пределу S, то ряд называется сходящимся, а число S – суммой сходящегося ряда, т.е. или Эта запись равносильна записи Если частичная сумма Sn ряда (1) при неограниченном возрастании n не имеет конечного предела (в частности, стремится к + или к - ), то такой ряд называется расходящимся. Если ряд сходится, то значение Sn при достаточно большом n является приближенным выражением суммы ряда S. Разность rn = S - Sn называется остатком ряда. Если ряд сходится, то его остаток стремится к нулю, т.е. , и наоборот если остаток стремится к нулю, то ряд сходится.
Геометрический ряд. Рассмотрим несколько случаев нахождения частичной суммы первых n членов ряда , образованного из членов геометрической прогрессии. 1. |q| < 1. Для нахождения частичной суммы Sn воспользуемся формулой суммы членов убывающей геометрической прогрессии:
. где a1 – первый член, an = a1qn-1 - n-й член, q – знаменатель прогрессии. Следовательно Находим сумму ряда Поскольку первое слагаемое под знаком предела является постоянным, а второе – бесконечно малой величиной ( при ). Таким образом, в данном случае ряд сходится, а его сумма есть
2. |q| > 1. Частичную сумму Sn найдем по формуле суммы членов возрастающей геометрической прогрессии: Тогда сумма ряда так как первое слагаемое под знаком предела есть бесконечно большая величина ( при ). В этом случае ряд расходится.
3. q = 1. Находим Sn = а1 + а1 + а1 + … + а1 = а1n Следовательно, . Значит, в данном случае ряд расходится.
4. q = -1. Имеем S1 = a S2 = a – a = 0 S3 = a – a + a = f S4 = a – a + a – a = 0 ……………………. т.е. Sn = 0 при n четном и Sn = а при n нечетном.. Отсюда следует, что последовательность частичных сумм не имеет предела и, значит, ряд расходится. Итак, данный ряд сходится при |q |< 1 и расходится при |q| ≥ 1. Ряд вида будем называть геометрическим рядом.
Гармонический ряд. Ряд вида называется гармоническим. Запишем частичную сумму этого ряда Sn = (1 + Сумма Sn больше суммы, представленной следующим образом: Sn > (1 + или Sn > 1 + Если , то 1 + , или Sn = 1 + Следовательно, если , то Sn , т.е. гармонический ряд расходится.
Необходимый признак сходимости ряда . Ряд может сходиться только при условии, что его общий член un при неограниченном увеличении номера n стремиться к нулю: . Если , то ряд расходится – это достаточный признак расходимости ряда.
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-01-19; просмотров: 184; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.118.252.87 (0.01 с.) |