Мат. Ожидание и дисперсия суммы случайных величин. Мат ожидание произведения случайных величин.

M[X]=m_x= M[Y]=m_y=

(M[X], M[Y])-центр распределения.

Пусть X и Y - случ. вел. С конечными мат. ожиданиями. Мат. ожидание их суммы равно сумме их мат. ожиданий.

M[X+Y]=

M[X]+M[Y]

Пусть X и Y- взаимно независимые случ. вел с конечными мат. ожиданиями. Мат ожидание произведения XY равно произведению их мат. ожиданий.

M[XY]= =M[X]*M[Y]. Это правило распространяется на любое конечное число взаимно независимых случ. величин. Заметим, то последнее равенство для зависимых случ. величин, вообще говоря, е выполняется.

Пусть X и Y- случ. Вел с совместным распределением, задаваемым таблицей (1). Условное мат. ожидание случ. dел. X при условии, что Y принимает заданное значение

Y = yj, вычисляется по формуле: M[X/Y=yj]= >0

Дисперсия суммы случайных величин:

D[X+Y] z=X+Y =>

D[z]=M[(z-m_z)²], а m_z=m_x+m_y

D[z]= M[((X-m_x)+(Y-m_y))²]= M[(X-m_x)²]+2 M[(X-m_x)(Y-m_y)]+ M[(Y-m_y)²]=D[X]+2cov(X,Y)+D[Y]

Таким образом:

D[X±Y]=D[X]+D[Y]±2cov(X,Y)

Если X и Y независимые, то cov(X,Y)=0 => D[X±Y]=D[X]+D[Y]

Рассмотрим

D[aX±bY]=a²D[X]+b²D[Y]±2abcov(X,Y)

Коэффициент корреляции как характеристика статистической связи. Некоррелированность и независимость случ. величин.

В качестве меры линейной зависимости между случ. величинами X и Y используют коэффициент корреляции, вычисляемый по формуле

Св-ва коэфиициента корреляции:

1.

Док-во: рассмотрим систему 2-ух случ. вел: (X,Y) Проведем нормировку (стандартизацию), т.е.

M[X]= m_x D[X]=σ_x² X^x_{нормиров}= Нормированная величина – это тогда, когда

M[Y]=m_y D[Y]= σ_y² Y^y_{нормиров}= m_ч=0, а σ_x=1

Cov(X^x,Y^y)=M[{ }]*M[{ }]=

2. Если X и Y – незав. случ. вел, то , причем обратное неверно

3.Если X и Y связаны линейной функциональной зависимостью: Y=aX+b, где a,b – const, a≠0,то

Док-во:

Т.к M[Y]=aM[X]+b=am_x+b, то имеем cov(X,Y)=M[(X-m_x)*(Y-m_y)]=M[(X-m_x)(aX+b-am_x-b)]=M[(X-m_x)a(X-m_x)]=aD[X]

Вычислим дисперсию случ. вел. Y=aX+b D[Y]=D[aX+b]=a²D[X]

Таким образом, коэффициент корреляции равен:

Следовательно, =1, если a>1 и

=-1, если a<0

Т.е коэффициент корреляции является показателем линейной зависимости, но если ρ_xy=0. это не значит,что между ними нет никакой связи, это значит, что нет линейной зависимости.

Если коэффициент корреляции между случ. вел. X и Y равен 0, то говорят, что X и Y некоррелированны.

Некоррелированность случ. вел X и Y означает только, что между ними нет линейной зависимости и не означает статистическую независимость случ. вел X и Y.

Законы больших чисел и предельные теоремы. Теорема Бернулли, Чебышева, Муавра-Лапласа

Теорема Чебышева и ее обобщение.

 

Если дисперсии n-независимых случайных величин (X1…Xn) ограничены одной и той же постоянной, то при неограниченном увеличении числа n среднее арифметическое случайных величин сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий.

Док-во:

По условию: M()= … M()=

По первому неравенству Чебышева получаем:

поскольку P>1, то:

Вывод: при достаточно больших n выполнение рассматриваемого неравенства является событием практически достоверным, а неравенства противоположного смысла практически невозможно.

Таким образом предел по вероятности следует понимать не как категорическое отверждение, а как утверждение, вероятность которого гарантируется с вероятностью близкой к 1 (при n->∞)

Таким образом, при большом числе случайных величин практически достоверно, что их средняя случайная величина как угодна мало отличается от неслучаной – среднего математического ожидания, т.е. перестает быть случайной.

Этим заключением обоснован выбор средней арифметической в качестве меры истинного значения мат. ожидания.

Теорема Бернулли.

 

Пусть А – случайный исход некоторого экспериментов, P(A)=p – вероятность этого исхода. Предположим, что эксперимент повторяется n раз в неизменных условиях (т.е. вероятность Р(А)=р не изменяется при повторении экспериментов). Тогда относительная частота появление события А при n -> ∞ сходится по вероятности к р:

, или

где n – общее число исходов,

m – число благоприятных исходов,

p – вероятность появления случ. величины.

Док-во:

Пусть Причем , а .

Вычислим математическое ожидание случайной величины :

M[Xi] = 1*p + 0*q = p

И математическое ожидание их среднего арифметического:

Случайные величины , i=1…n по условию взаимно независимы, а их среднее арифметическое есть относительная частота появления события А в середине n экспериментов

Теорема Бернулли дает математическое обоснование экспериментальным результатам, в которых наблюдается устойчивость частот при увеличении числа экспериментов.

Устойчивость среднего арифметического можно объяснить тем, что случайное отклонения от среднего, неизбежные в каждом отдельном результате, в массе однородных результатов взаимно поглощаются, нивелируются, выравниваются. Вследствие этого средний результат фактически перестает быть случайным и может быть предсказан достаточно точно.

Теорема Муавра-Лапласа.

Пусть Х – случайная величина, имеющая биномиальное распределение. (q=1-p; n испытаний)

Х – число успехов в n испытаниях по схеме Бернулли

Х=0…n

Введем величину

Причем M[Xi]=1*p+0*q=p

D[Xi]=M[Xi²]-p²=p-p²=p(1-p)=pq

X = X1 + … + Xn (они все независимы и имеют одинаковое распределение)

M[X] = M[X1 + … + Xn] = M[X1] + … + M[Xn] = np

D[X] = D[X1 + … + Xn] = D[X1] + … + D[Xn] = npq

Следовательно: X

 

 

 

Теорема Муавра-Лапласа позволяет количественно оценить разброс события А в некотором эксперименте, который может повторятся n раз в неизменных условиях.