Индукция математическая, полная математическая индукция

- средство доказательства общих положений в матема­тике и др. дедуктивных науках. Этот прием опирается на использова­ние двух суждений. Первое представляет собой единичное суждение и наз. базой индукции. В нем доказывается, что 1 обладает некоторым свойством (S (1)). Второе суждение - общее условное. В нем утверж­дается, что если произвольное число п обладает свойством S (т. наз. индуктивное предположение), то и непосредственно следующее за ним (в натуральном ряду) число n +1 также обладает этим свойством S (т. наз. индукционный шаг). Это т.наз. наследуемость свойства S в натуральном ряду чисел 1, 2, 3, 4, 5,..., n, n +1... Если первое и второе положения верны, то можно сделать заключение, что и все натуральные числа обладают свойством S,что S принадлежит все­му бесконечному множеству натуральных чисел.

Символически это доказательство записывается так:

S (1)& " n (S (n)-> S (n +1)) ®" mS (m).

Доказательство некоторого общего математического суждения может быть продемонстрировано последовательностью процедур: из " n (S (n)- >S (n+ 1))по правилам логики могут быть получе-

[128]

ны следующие суждения: S (1)-> S (2) (1), S (2)-> S (3) (2), S(3)-> S (4) (3)... и т. д. Поскольку же нам надо 5(1), то из сужде­ния (1) мы получаем по модус поненс S (2); поскольку нам дано S (2), мы из (2) можем получить 5(3); поскольку нам дано S (3), мы из (3) можем получить 5(4), и т. д. до бесконечности. Это и означает доказанность истинности общего суждения " mS (m).

ИНДУКЦИЯ НЕПОЛНАЯ

- индуктивный вывод о том, что всем представителям изучаемого множества принадлежит свойство Р на том основании, что Р принадлежит некоторым представителям этого множества. Так, напр., узнав о том, что инженер А работает продавцом, инженер B работает продавцом и инженер С также ра­ботает продавцом, вы можете сделать индуктивный вывод, что все инженеры ныне работают продавцами. Множество инженеров ве­лико, трудно или даже невозможно установить, чем сейчас зани­мается каждый из них, поэтому ваше индуктивное заключение связано с риском: оно может оказаться ошибочным. Для повыше­ния степени надежности индуктивного вывода используют спе­циальные методы (см.: Индукция научная, Индукции каноны).

ИНДУКЦИЯ ПОЛНАЯ

- индукция, в которой делается заключе­ние о том, что всем представителям изучаемого множества при­надлежит свойство Р,на основании полученной при опытном ис­следовании информации о том, что каждому представителю изучаемого множества принадлежит свойство Р. Умозаключения полной индукции являются дедуктивными в том смысле, что зак­лючение в них следует из посылок с логической необходимостью: при истинности посылок, применяя известные правила логики, мы не можем получить ложного заключения.

ИНДУКЦИЯ ПОПУЛЯРНАЯ

- наиболее распространенный вид индуктивного вывода, в котором не предпринимается никаких мер для повышения достоверности заключения. Именно так мы чаще всего рассуждаем в повседневной жизни. Напр., столкнувшись с грубостью одного-двух чиновников к.-л. учреждения, мы с лег­костью делаем вывод о том, что все сотрудники этого учреж­дения грубияны, или, купив два-три раза в магазине испорчен­ные консервы, мы заключаем, что все консервы в этом магази­не испорчены. Ясно, что такого рода заключения часто оказыва­ются ложными. В таких случаях мы совершаем ошибку поспеш­ного обобщения. Для того чтобы избежать этой ошибки, ис­пользуют специальные приемы для повышения степени досто­верности индуктивного вывода (см.: Индукция научная).

ИНТЕНСИОНАЛ И ЭКСТЕНСИОНАЛ

- понятия, введенные ав­стрийским логиком и философом Р. Карнапом для анализа зна -

[129]

чения языковых выражений. Метод И. и Э. представляет собой модификацию и дальнейшую разработку семантической концеп­ции немецкого математика и логика Г. Фреге. Но если для Фреге исходным и основным было понятие имени,то Карнап скорее ориентировался на роль прилагательных - он анализировал пре­дикаты. Утверждение «Сократ — человек» можно трактовать двоя­ко. Можно считать, что это утверждение приписывает Сократу некоторое свойство «быть человеком». В то же время данное утвер­ждение можно рассматривать как говорящее о том, что индивиду­ум Сократ включается в класс людей. Этот пример показывает, что предикат, в данном случае «человек», может обозначать как свойство, так и класс. Классы и свойства взаимосвязаны: каждое свойство задает некоторый класс и каждому классу соответствует некоторое свойство. Объекты, обладающие свойством «быть чело­веком», образуют класс людей; с другой стороны, класс людей характеризуется тем, что входящие в него элементы обладают свой­ством «быть человеком». Класс, задаваемый некоторым свойством, может быть и пустым.

Большую роль в концепции Карнапа играет понятие эквива­лентности. Два класса эквивалентны, если они состоят из одних и тех же элементов. Два предиката эквивалентны, если они обозна­чают один и тот же класс. Класс, обозначаемый предикатным вы­ражением, называется Э. этого выражения. И. предикатного выра­жения Карнап называет выражаемое им свойство. Напр., Э. предиката «человек» является класс людей; его И. будет свойство «быть человеком». Предикаты «человек» и «существо, имеющее мягкую мочку уха» будут экстенсионально эквивалентны, т. к. обо­значают один и тот же класс. Предикаты «человек» и «существо, способное производить орудия труда» не только экстенсионально, но и интенсионально эквивалентны, т. к. обозначают один и тот же класс и выражают одно и то же свойство.

Поскольку два предложения являются эквивалентными в том случае, когда имеют одинаковое истинностное значение, постоль­ку Э. предложения целесообразно считать его истинностное значе­ние. И. предложения является выражаемое им суждение, мысль. Э. собственного имени Карнап считал предмет, обозначаемый этим именем; И. имени является концепт - индивидуальное понятие. Понятия Э. и И. лежат в основе различения экстенсиональ­ных и интенсиональных контекстов. Экстенсиональ­ными контекстами называют множества утверждений, в которых взаимозаменимы экстенсионально эквивалентные языковые вы­ражения, т. е. которые учитывают лишь Э. выражений. Интенсио-

 

[130]

нальный контекст допускает замену только интенсионально эк­вивалентных выражений, т. е. для него важны И. выражений (см.: Имя, Смысл, Значение).

ИНТЕРПРЕТАЦИЯ (от лат. interpretatio -разъяснение, истолко­вание)

- в логике приписывание некоторого содержательного смысла, значения символам и формулам формальной системы; в результате формальная система превращается в язык,описыва­ющий ту или иную предметную область. Сама эта предметная об­ласть и значения, приписываемые символам и формулам, также

наз. И.

Рассмотрим обычное построение исчисления высказываний.

Сначала задается список исходных с и м в о л о в: А, В, С,...; ~, &, Ú®,), (. Затем устанавливаются правила построения формул:

1. Отдельная буква из числа А, В, С,...есть формула.

2. Если х есть формула, то ~ х тоже формула.

3. Если х и у -формулы, то х&у, x v у,х->у тоже будут формулами.

К этому добавляются правила, позволяющие из одних фор­мул получать другие. В частности, некоторые формулы, построен­ные в соответствии с правилами построения, можно принять в качестве аксиом, добавить к ним правило подстановки, разре­шающее на место одной правильно построенной формулы под­ставлять другую правильно построенную формулу, и правило от­деления: из формул х -> у и х можно получить формулу у.

Такое синтаксическое построение формальной системы пред­ставляет собой просто игру с символами, когда мы комбинируем символы в соответствии с правилами, соединяем их, разъединя­ем, из одних получаем другие и т. п. Для того чтобы система при­обрела смысл, стала языком, описанием каких-то объектов, связей и отношений между объектами, нужно придать ей И. Это делается следующим образом.

Сначала приписывается значение исходным символам. Будем считать, что символы А, В, С,...представляют предложения, которые могут быть истинными или ложными. Истинность или ложность сложных формул устанавливается следующим образом:

Если формула х истинна, то формула ~ х ложна, если формула х ложна, то формула ~ х истинна.

Формула х&у истинна только в том случае, если х истинна и у истинна; во всех остальных случаях формула х & у ложна.

Формула x v y ложна только в том случае, если х ложна и у лож­на; во всех остальных случаях формула х v у истинна.

Формула х -> у ложна только в том случае, если х истинна, а у ложна; во всех остальных случаях формула х -> у истинна.

[131]

После И. формул синтаксической системы она становится сис­темой предложений, обозначающих истину или ложь, а правила преобразования одних формул в другие превращаются в правила вывода одних предложений из других. Подставляя в формулы кон­кретные истинные или ложные предложения, мы можем устанав­ливать между ними разнообразные логические отношения. Можно придать исходным символам и другую И., напр. считать, что А, В, С,...обозначают события, а символ «®» выражает причинную связь событий. Тогда выражение «А ® В»приобретает такой смысл: со­бытие A причинно влечет событие В.

Если в формальной системе имеются знаки для индивидуаль­ных переменных, скажем, х, у, z,...;,для предикатных выражений - Р, Q,...;для кванторов - ", $, то мы можем образовать формулы вида " хР (х)и $ хР (х).Для И. таких формул вводят некоторую область объектов, по которым пробегают индивидные перемен­ные, и свойства этих объектов, которые обозначаются предикат­ными выражениями. Тогда предложение вида " хР (х)считается истинным, если все объекты данной области обладают свойством Р. Предложение вида $ хР (х)истинно, если хотя бы один объект из нашей объектной области обладает свойством Р.

В отличие от формальных логических систем, в содержатель­ных естественнонаучных и математических теориях всегда под­разумевается некоторая И.: в таких теориях используются лишь осмысленные выражения, т. е. смысл каждого выражения предпо­лагается заранее известным. В общем случае понятия и предложе­ния естественнонаучных теорий интерпретируются посредством образов сознания, идеальных объектов, совокупность которых должна быть адекватна интерпретируемой теории относительно описываемых свойств объектов. И. теоретических построений раз­витых областей научного знания носит, как правило, опосредо­ванный характер и включает в себя многоступенчатые, иерар­хические системы промежуточных И. Связь начального и конечного звеньев таких иерархий обеспечивается тем, что И. интерпретаций к.-л. теории дает и непосредственную ее И. В мате­матике интерпретируемость различных систем аксиом с помощью других аксиоматических теорий служит традиционным средством установления их относительной непротиворечивости (на­чиная с доказательства непротиворечивости неевклидовой гео­метрии Лобачевского посредством ее И. в терминах обычной гео­метрии Евклида).

В повседневном языке И. называют истолкование, раскрытие смысла того или иного положения, текста, художественного про-

 

[132]

изведения. Однако в процессе И. текста или музыкального произ­ведения интерпретатор - литературовед, режиссер, исполнитель всегда вносит в интерпретируемый материал некоторый личност­ный смысл, истолковывает его по-своему. Это служит основой множественности И. в искусстве и литературе.

ИНТЕРСУБЪЕКТИВНЫЙ (от лат. inter -между)

- межлично­стный, общий, общедоступный, в противоположность лично­му, индивидуальному, уникальному. В логико-методологической литературе понятие интерсубъективности получило широкое рас­пространение в связи с программой эмпирического обо­снования науки, выдвинутой представителями логического по­зитивизма в 20-х годах XX в.

Эмпирическое обоснование науки, по мнению логических по­зитивистов, должно состоять в логическом сведении всех научных понятий и утверждений к таким понятиям и предложениям, ко­торые непосредственно выражают чувственные переживания субъекта, напр. «красный», «теплый», «Я чувствую боль» и т. п. Не­посредственная связь с чувственным опытом обеспечивает осмысленность понятий и несомненную достоверность предложений. Однако если содержание понятий и предложений определяется только чувственным опытом субъекта, то каждый человек образу­ет свой собственный эмпирический язык, выражающий его

собственные чувства и переживания. Эмпирические предложения, выражающие чувственный опыт одного человека, будут непонят­ны другому человеку, чувственный опыт которого отличается от опыта первого. Эмпирические языки, значения понятий и пред­ложений при таком подходе оказываются субъективными. Поэто­му встает вопрос отыскания или построения И. языка, слова и предложения которого были бы понятны всем людям и который вместе с тем был бы связан с чувственным восприятием и мог служить эмпирическим базисом науки. Таким языком был при­знан фрагмент повседневного языка, относящийся к чувственно воспринимаемым объектам и их свойствам.

ИНТУИТИВНАЯ ЛОГИКА

- интуитивные представления о пра­вильности рассуждений, сложившиеся стихийно в процессе повседневной практики мышления. И. л., как правило, успешно справляется с встающими перед нею задачами, но совершенно недостаточна для анализа и критики неправильных рассуждений. Правильно ли рассуждает человек, когда говорит: «Если бы барий был металлом, он проводил бы электрический ток; барий прово­дит электрический ток, следовательно, он металл»? Чаще всего на основе логической интуиции отвечают: правильно, барий ме-

[133]

талл и он проводит ток. Этот ответ, однако, неверен. Логическая правильность, как гласит теория, зависит только от способа свя­зи утверждений. Она не зависит от того, истинны используемые в выводе утверждения или нет. Хотя все три утверждения, входящие в рассуждение, верны, между ними нет логической связи. Рассуж­дение построено по неправильной схеме: «Если есть первое, то есть второе; второе есть; значит, есть и первое». Такая схема от истинных исходных положений может вести не только к истинно­му, но и к ложному заключению, она не гарантирует получения новых истин из имеющихся. В рассуждении «Если у человека по­вышенная температура, он болен; человек болен; следовательно, у него повышенная температура» обе посылки могут быть истин­ными, а заключение ложным: многие болезни протекают без по­вышения температуры. Другой пример: «Если бы шел дождь, зем­ля была бы мокрой; но дождя нет; значит, земля не мокрая». Это рассуждение интуитивно обычно оценивается как правильное, но достаточно небольшого рассуждения, чтобы убедиться, что это не так. Верно, что в дождь земля всегда мокрая; но если дождя нет, из этого вовсе не следует, что она сухая: земля может быть просто полита или быть мокрой после таяния снега. Рассуждение опять-таки идет по неправильной схеме: «Если первое, то второе; но первого нет; значит, нет и второго». Эта схема может привести от истинных посылок к ошибочному заключению: «Если у человека повышенная температура, он болен; у него нет повышенной тем­пературы; значит, он не болен». Эти простые примеры показывают, что логика, усвоенная стихийно, даже в обычных ситуациях может оказаться ненадежной.

Навык правильного мышления не предполагает к.-л. теорети­ческих знаний, умения объяснить, почему что-то делается именно так, а не иначе. К тому же сама И. л., как правило, беззащитна перед лицом критики.

Усвоение языка есть одновременно и усвоение общечелове­ческой, не зависящей от конкретных языков логики. Без нее, как и без грамматики, нет, в сущности, владения языком. В дальней­шем стихийно сложившееся знание грамматики систематизиру­ется и шлифуется в процессе школьного обучения. На логику же специального внимания обычно не обращается, ее совершенство­вание остается стихийным процессом. Нет поэтому ничего стран­ного в том, что, научившись на практике последовательно и дока­зательно рассуждать, человек затрудняется ответить, какими принципами он при этом руководствуется. Почувствовав сбой в рассуждении, он оказывается, как правило, не способным объяс-

 

[134]

нить, какая логическая ошибка допущена. Это под силу только теории логики.

ИНТУИЦИОНИЗМ

- направление в обосновании математики и логики, согласно которому конечным критерием приемлемости методов и результатов этих наук является наглядно-содержатель­ная интуиция. Вся математика должна опираться, согласно И., на интуитивное представление ряда натуральных чисел и на прин­цип математической индукции, истолковываемый как требование действовать последовательно, шаг за шагом; допускаются лишь конструктивные доказательства существования рассматриваемого объекта, указывающие способ его построения.

Создателем И. является голландский математик Л. Э. Я. Брауэр (1881 — 1966). В начале XX в. он выдвинул программу радикальной перестройки математики, противопоставив ее концепции сведе­ния математики к логике (см.: Логицизм)и истолкованию мате­матики исключительно как языка математических символов (см.: Формализм).

Представители И. полагают, что чистая математика является мыслительной активностью, не зависящей от языка, ее объект -нелингвистические математические конструкции. Язык служит лишь для сообщения математических идей, математика не сво­дится к языку и тем более не может быть истолкована как особый язык. Предметом исследования (математической) логики являет­ся математический язык, более или менее адекватно передающий математические построения. Логика вторична по отношению к ма­тематике, последняя не может быть обоснована с помощью логи­ческих средств.

Основной тезис интуиционистов гласит, что существование в математике — это то же самое, что конструктивность, или «построяемость». Из существования математического объекта вытека­ет его непротиворечивость, но не наоборот: не каждый непроти­воречивый объект существует. Построение является единственным средством обоснования в математике.

Интуиционисты подвергли резкой критике закон исключенного третьего, закон (снятия) двойного отрицания и ряд других зако­нов логики классической. Согласно Брауэру, логические законы не являются абсолютными истинами, не зависящими от того, к чему они прилагаются. Закон исключенного третьего, верный в случае конечной математики, неприменим в рассуждениях о бесконечных множествах. Объекты бесконечного множества невозможно пере­брать. Если в процессе перебора не удалось найти элемент с требу­емым свойством, ни утверждение о существовании такого объекта,

[135]

ни отрицание этого утверждения не является истинным. Критика И. классической логики привела к созданию нового направления в логике — интуиционистской логики.

Одновременно с Брауэром сомнения в универсальной прило­жимости закона исключенного третьего высказал рус. философ и логик Н. А. Васильев (1880-1940). Он ставил своей задачей постро­ение такой системы логики, в которой была бы ограничена не только сфера действия этого закона, но и непротиворечия закона. Казавшиеся парадоксальными, идеи Васильева не были в свое время оценены по достоинству.

ИНТУИЦИОНИСТСКАЯ ЛОГИКА

- одна из наиболее важных ветвей логики неклассической,имеющая своей философской пред­посылкой программу интуиционизма. Выдвигая на первый план ма­тематическую интуицию, интуиционисты не придавали большого значения систематизации логических правил. Только в 1930 г. гол­ландский математик и логик А. Гейтинг — ученик создателя инту­иционизма Л. Брауэра - дал аксиоматическую формулировку И. л., подчеркнув, что «интуиционизм развивается независимо от фор­мализации, которая может идти только по следам математи­ческой конструкции». В И. л. не действует закон исключенного тре­тьего,а также ряд других законов логики классической,позволяющих доказывать существование объектов, которые невозможно реали­зовать или вычислить. В числе таких законов — закон (снятия) двой­ного отрицания и закон приведения к абсурду.

Отбрасывание закона исключенного третьего не означает при­нятия отрицания этого закона; напротив, И. л. утверждает, что от­рицание отрицания этого закона (его двойное отрицание) явля­ется верным. Отбрасывание не должно пониматься также как введение какого-то третьего истинностного значения, промежу­точного между истиной и ложью.

В классической логике центральную роль играет понятие исти­ны. На его основе определяются логические связки, позволяющие строить сложные высказывания. В И. л. смысл связок задается пу­тем указания тех необходимых и достаточных условий, при кото­рых может утверждаться сложное высказывание.

Если р и q — некоторые высказывания, то их конъюнкцию (р и q)можно утверждать, только если можно утверждать как р,так и q. Дизъюнкцию (р или q)можно утверждать тогда и только тогда, когда можно утверждать хотя бы одно из высказываний р и q. Мате­матическое высказывание р можно утверждать только после прове­дения некоторого математического построения с определенными свойствами; соответственно отрицание р можно утверждать, если

 

[136]

и только если имеется построение, приводящее к противоречию предположение о том, что построение р выполнено. Понятие про­тиворечия здесь принимается в качестве неопределяемого, прак­тически противоречие всегда можно привести к форме 1 = 2. Имп­ликацию (если р,то q)можно утверждать, только если имеется такое построение, которое, будучи объединено с построением р,автоматически дает построение q.

Интуиционистское понимание логических связок таково, что из доказательства истинности высказывания всегда можно извлечь способ построения объектов, существование которых утверждается.

И. л. является единственной из неклассических логик,в рамках которой производилась достаточно последовательная и глубокая разработка многих разделов математики. Эта логика позволяет тонко и точно исследовать трудный и важный вопрос о характере суще­ствования объектов, исследуемых в математике.

Идеи, касающиеся ограниченной приложимости законов исклю­ченного третьего, снятия двойного отрицания, редукции к абсурду и связанных с ними способов математического доказательства, раз­рабатывались рус. математиками А. Н. Колмогоровым (1903-1985), В. И. Гливенко (1897-1910), А. А. Марковым (1903-1979), Н. А. Шани­ным (р. 1919) и др. В результате критического переосмысления ос­новных принципов И.л. возникла конструктивная логика,также считающая неправильным перенос ряда логических принципов, применимых в рассуждениях о конечных множествах, на область бесконечных множеств.

ИНТУИЦИЯ (от лат. intuitio — пристальное, внимательное всматривание, созерцание)

— способность к прямому усмотрению ис­тины, постижению ее без всякого рассуждения и доказательства. Для И. обычно считаются типичными неожиданность, невероят­ность, непосредственная очевидность и неосознанность пути, ве­дущего к ее результату. С «непосредственным схватыванием», внезапным озарением и прозрением много неясного и спорного. Иногда даже говорится, что И. - это куча хлама, в которую свали­ваются все интеллектуальные механизмы, о которых не известно, как их проанализировать. И., несомненно, существует и играет за­метную роль в познании. Далеко не всегда процесс научного и тем более художественного творчества и постижения мира осущес­твляется в развернутом, расчлененном на этапы виде. Нередко че­ловек охватывает мыслью сложную ситуацию, не отдавая отчета во всех ее деталях, да и просто не обращая внимания на них. Особенно наглядно это проявляется в военных сражениях, при постановке диагноза, при установлении виновности и невиновности и т. п.

Из многообразных трактовок И. можно эскизно наметить сле­дующие:

>> И. Платона как созерцание стоящих за вещами идей, прихо­дящее внезапно, но предполагающее длительную подготовку ума;

>> интеллектуальная И. Декарта как понятие ясного и внима­тельного ума, настолько простое и отчетливое, что не оставляет никакого сомнения в том, что мы мыслим;

>> И. Спинозы, являющаяся «третьим родом» познания (наряду с чувствами и разумом) и схватывающая сущность вещей;

>> чувственная И. Канта и его более фундаментальная чистая И. пространства и времени, лежащая в основе математики;

>> художественная И. Шопенгауэра, улавливающая сущность мира как мировую волю;

>> И. философии жизни (Ницше), несовместимая с разумом, логикой и жизненной практикой, но постигающая мир как фор­му проявления жизни;

>> И. Бергсона как непосредственное слияние субъекта с объек­том и преодоление противоположности между ними;

>> моральная И. Мура как непосредственное видение добра, не являющегося «естественным» свойством вещей и не допускающе­го рассудочного определения;

>> чистая И. времени Брауэра, лежащая в основе деятельности мысленного конструирования математических объектов;

>> И. Фрейда как скрытый, бессознательный первоисточник твор­чества;

>> И. Полани как спонтанный процесс интеграции, непосред­ственного внезапного усмотрения целостности и взаимосвязи в ранее разрозненном множестве объектов.

Этот перечень может быть продолжен. В сущности, едва ли не у каждого крупного философа и психолога имеется свое собствен­ное понимание И. В большинстве случаев эти понимания не ис­ключают друг друга.

И. как «прямое видение истины» не является чем-то сверхра­зумным. Она не идет в обход чувств и мышления и не составляет особого рода познания. Ее своеобразие состоит в том, что отдель­ные звенья процесса мышления проносятся более или менее бес­сознательно и запечатлевается только итог мысли — внезапно от­крывшаяся истина.

Существует давняя традиция противопоставлять И. логике. Не­редко И. ставится выше логики даже в математике, где роль стро­гих доказательств особенно велика. Чтобы усовершенствовать ме­тод в математике, полагал Шопенгауэр, необходимо прежде всего

 

[138]

отказаться от предрассудка — веры в то, будто доказанная истина выше интуитивного знания. Паскаль проводил различие между «ду­хом геометрии» и «духом проницательности». Первый выражает силу и прямоту ума, проявляющиеся в железной логике рассуж­дений, второй — широту ума, способность видеть глубже и про­зревать истину как бы в озарении. Для Паскаля даже в науке «дух проницательности» независим от логики и стоит неизмеримо выше ее. Еще раньше некоторые математики утверждали, что интуитив­ное убеждение превосходит логику, подобно тому как ослепи­тельный блеск Солнца затмевает бледное сияние Луны.

Неумеренное возвеличение И. в ущерб строгому доказательству неоправданно. Логика и И. не исключают и не подменяют друг друга. В реальном процессе познания они, как правило, тесно пе­реплетаются, поддерживая и дополняя друг друга. Доказательство санкционирует и узаконивает достижения И., оно сводит к мини­муму риск противоречия и субъективности, которыми всегда чре­вато интуитивное озарение. Логика, по выражению математика Г.Вейля, - это своего рода гигиена, позволяющая сохранить идеи здоровыми и сильными. И. отбрасывает всякую осторожность, ло­гика учит сдержанности. Только проведенное шаг за шагом логи­ческое доказательство делает завоевания И. объективно установ­ленным результатом.

Уточняя и закрепляя результаты И., логика сама обращается к ней в поисках поддержки и помощи. Логические принципы не яв­ляются чем-то заданным раз и навсегда. Они формируются в мно­говековой практике познания и преобразования мира и представ­ляют собой очищение и систематизацию стихийно складывающихся «мыслительных привычек». Вырастая из аморфной и изменчивой пралогической И., из непосредственного, хотя и неясного «виде­ния логического», эти принципы всегда остаются связанными с изначальным интуитивным «чувством логического». Не случайно строгое доказательство ничего не значит даже для математика, если результат остается непонятным ему интуитивно.

Логика и И. не должны противопоставляться друг другу, каж­дая из них необходима на своем месте. Внезапное интуитивное озарение способно открыть истины, вряд ли доступные последова­тельному и строгому логическому рассуждению. Однако ссылка на И. не может служить твердым и тем более последним основанием для принятия каких-то утверждений. И. приводит к интересным новым идеям, но она нередко порождает также ошибки, вводит в заблуждение. Интуитивные догадки субъективны и неустойчивы, они нуждаются в логическом обосновании. Чтобы убедить в инту-

[139]

итивно схваченной истине как других, так и самого себя, требу­ется развернутое рассуждение, доказательство (см.: Аргументация контекстуальная).

ИРРАЦИОНАЛЬНОЕ (от лат. irrationalis -неразумный, бессоз­нательный)

- находящееся на пределами разума, противореча­щее логике. Обычно противопоставляется рациональному как ра­зумному, целесообразному, обоснованному.

Понимание И. зависит от определения понятия рационального. Если рациональное определяется как соответствующее законам разума, т. е. законам логики, то И. можно назвать то, что нарушает законы логики. Напр., если признается истинной конъюнкция двух предложений «A & B» и признается истинным предложение «A», то это рационально. Если же, наряду с признанием истинности конъюнкции «А&В»,признается ложность предложения «A», то данное рассуждение И.: в нем нарушено правило логики, соглас­но которому из истинности конъюнкции следует истинность каж­дого ее элемента. Можно дать рациональному более широкое оп­ределение - как соответствие не только законам логики, но и некоторым методологическим нормам, правилам, стандартам де­ятельности и т. п. Соответственно И. будет рассуждение или пове­дение, нарушающее эти нормы и правила.

Иногда рациональное определяют как целесообразное, т. е. как то, что приводит к намеченной цели. В этом случае И. будет все то, что не приближает нас к цели или даже делает цель еще более недостижимой. При таком понимании квалификация каких-то дей­ствий как рациональных или И. в значительной мере зависит от условий деятельности. Напр., в комнате душно, и вы хотите ее про­ветрить. Для этого вы открываете окно. Если на улице прохладно, то вы достигаете своей цели: свежий воздух ворвется в комнату и дышать станет легче. Но если на улице жарко, то, открыв окно, вы ухудшите положение. В одной ситуации было рационально открыть окно, в другой - И. (см.: Рациональность).

ИСКЛЮЧЕННОГО ТРЕТЬЕГО ЗАКОН, см.: Закон исключенного третьего.

ИСКУССТВЕННЫЙ ИНТЕЛЛЕКТ

- метафорическое обозначе­ние области исследований, цель которых - создание технических систем, способных решать задачи невычислительного характера и выполнять действия, требующие переработки содержательной ин­формации и считающиеся прерогативой человеческого мозга. К числу таких задач относятся, напр., задачи на доказательство тео­рем, игровые задачи (скажем, при игре в шахматы), задачи по пере­воду с одного языка на другой, по сочинению музыки, распозна-

 

[140]

ванию зрительных образов, решению сложных творческих про­блем науки и общественной практики. Одной из важных задач И. и. является создание интеллектуальных роботов, способных автоном­но совершать операции по достижению целей, поставленных че­ловеком, и вносить коррективы в свои действия.

ИСТИНА

— мысль или высказывание, соответствующие своему предмету. Мысль соответствует своему предмету, если представля­ет его таким, каков он есть на самом деле, в реальности. Напр., мысль о том, что Иртыш есть приток Оби, соответствует своему предмету, ибо действительно Иртыш вливается в Обь; а мысль о том, что бананы растут на березе, искажает реальное положение дел, поэтому является ложью.

Вопрос об И. принадлежит сфере философии. Для логики важ­но иметь в виду следующее.

Реальность, относительно которой наши мысли оцениваются как истинные или ложные, не обязательно должна быть только физической реальностью, это может быть реальность художествен­ного вымысла или идеализированных объектов. Скажем, утвер­ждение «Отелло любил Дездемону» истинно, а утверждение «Гам­лет был женат» ложно в мирах, создаваемых текстом шекспировских пьес. Здесь следует обратить внимание на то, что понятие И. говорит о соответствии мысли своему объекту, но никак не касается природы этих объектов.

И. объективна в том смысле, что истинность или ложность некоторой мысли не зависит от воли и желания людей. Даже если все человечество принимает некоторую мысль, считает ее истин­ной, мысль может оказаться ложной, и наоборот. То, что некоторая мысль соответствует или не соответствует своему предмету, опре­деляется предметом, а не субъектом познания. Я могу горячо ве­рить в то, что на Луне живут разумные существа, при определенных условиях могу увлечь своей верой миллионы других людей, но, если в действительности на Луне нет разумных существ, эта мысль будет ложной.

Логика не занимается установлением истинности и ложности наших мыслей. Это дело конкретных наук. Однако понятие И. игра­ет в логике чрезвычайно важную роль: именно с его помощью определяются фундаментальные для логики понятия логического вывода и логического следования.

ИСТИННОСТНОЕ ЗНАЧЕНИЕ

- одна из возможных характери­стик высказывания с точки зрения соответствия его описываемо­му фрагменту действительности. Если допускается, что каждое выс­казывание является либо истинным, либо ложным (т. е. что оно

[141]

либо соответствует действительности, либо не соответствует ей), говорят, что высказывание имеет одно из двух значений истинно­сти. Данное допущение, именуемое двузначности (бивалентности) принципом,лежит в основе логики классической. В многозначной логике допускается, что высказывание может принимать одно из и (n >2) значений истинности. Так, в трехзначной логике, опира­ющейся, соответственно, на принцип трехзначности, высказыва­ние принимает одно из трех И. з.: истинно, ложно и неопределен­но; в разных системах этой логики И. з. «неопределенно» понимается по-разному.

ИСЧИСЛЕНИЕ

— основанный на четких правилах формальный аппарат оперирования со знаниями определенного вида, позволя­ющий дать точное описание некоторого класса задач, а для от­дельных подклассов этого класса - и алгоритм решения.

В математической логике понятие об И. подверглось уточнению и более строгой формализации. Логическое И. строится на базе не­которого формализеванного языка. Задается набор исход­ных символов, из которых с помощью четко определенных правил строятся формулы рассматриваемого И. Некоторые из этих формул выбираются в качестве аксиом, из которых с помощью правил пре­образования получают новые формулы, называемые теоремами. После тог