Закон косвенного доказательства

- логический закон, позволяющий делать заключения об истинности какого-то выска­зывания на основании того, что отрицание этого высказывания влечет противоречие. Напр.: «Если из того, что 11 не является простым числом, вытекает то, что оно делится на число, отлич­ное от самого себя и единицы, и то, что оно не делится на такое число, то 11 есть простое число».

С использованием символики логической (p, q — некоторые выска­зывания; -> — импликация, «если, то»; & — конъюнкция, «и»; ~ — отрицание, «неверно, что») закон записывается так:

(~ p - >q) & (~p - >~q)- >p,

если (если не - р,то q)и (если не - р, то не - q),то р. 3. к. д. обычно называется также формула:

(~p - >q&~q)- >p,

если (если не - р,то q и не - q),то р. Напр.: «Если из-того, что 10 не является четным числом, вытекает то, что оно делится и не делится на 2, то 10 - четное число».

ЗАКОН ЛОГИКИ,см.: Логический закон.

ЗАКОН МЫШЛЕНИЯ - термин традиционной логики,

обозна­чавший требование к логически совершенному мышлению, имею-

 

[110]

щее формальный характер, т. е. не зависящее от конкретного со­держания мыслей. 3. м. назывались также законами логики или (формально-) логическими законами. Из множества З.м. выделя­лись т. наз. основные З.м. (логики), связанные, как считалось, с наиболее существенными свойствами мышления - такими, как определенность, непротиворечивость, последовательность, обо­снованность. Основные 3. м. рассматривались как наиболее оче­видные из всех утверждений логики, являющиеся чем-то вроде аксиом этой науки. Под неясное понятие основного 3. м. подводи­лись чаще всего непротиворечия закон, тождества закон, закон ис­ключенного третьего. Нередко к ним добавляли достаточного ос­нования принцип и принцип «обо всех и ни об одном» («сказанное обо всех предметах какого-то рода верно и о некоторых из них, и о каждом в отдельности; неприложимое ко всем предметам не­верно также в отношении некоторых и отдельных из них»).

В концепции основных 3. м. собственно логическое содержание смешивалось с теоретико-познавательным и с расплывчатыми методологическими рекомендациями (требованиями обосновывать каждое выдвигаемое утверждение, доводить исследование любого вопроса до полной определенности, выделять обсуждаемые объек­ты по достаточно устойчивым признакам и т. п.).

Логика современная (математическая, символическая) показала, что логических законов бесконечно много и нет оснований делить их на основные и второстепенные. Построены логические системы, в которых не являются законами закон исключенного третьего (ин­туиционистская логика,некоторые системы многозначной логики),непротиворечия закон (паранепротиворечивая логика).Термин «3. м.» в логике современной не употребляется (см.: Логический закон).

ЗАКОН ПРОТИВОРЕЧИЯ,см.: Непротиворечия закон.

ЗАКОН ЭКСПОРТАЦИИ - ИМПОРТАЦИИ (от лат. exportare -вывозить, importare — ввозить)

— логический закон, говорящий о заменимости в определенных случаях конъюнкции («и») имплика­цией («если, то»), и наоборот. Его можно передать так: первое и второе влечет третье тогда и только тогда, когда первое влечет, что второе влечет третье.

Закон слагается из двух импликаций. Одна из них - закон экс­портации (вынесения) - с использованием символики логичес­кой представляется так (р, q, r — некоторые высказывания, & -конъюнкция, -> - импликация):

((p&q)- >r)- > (p - > (q - >r)),

если (если р и q,то r), то (если р,то (если q,то r)). Напр.: «Если верно, что плоская геометрическая фигура, имеющая четыре рав-

[111]

ные стороны и четыре равных угла, является квадратом, то, если у плоской фигуры четыре равные стороны, она является квадра­том, если у нее четыре равных угла».

Вторая импликация, входящая в данный закон, именуется за­коном импортации (внесения). Символическая ее запись:

(p - > (q - >r))- > ((p&q)- >r),

если верно, что (если р,то (если q,то r)), то (если р и q,то r).

ЗНАК

- материальный предмет, воспроизводящий свойства, отношения некоторого другого предмета. Различают языковые и неязыковые З. Среди последних выделяют три разновидно­сти. 3.- копии обладают определенным сходством с представля­емыми ими объектами, напр. фотографии, отпечатки пальцев и т. п. 3. - признаки связаны с обозначаемыми объектами как следствия со своими причинами, напр. дым - 3. и следствие огня. З. - символы представляют собой некоторые наглядные образы, используе­мые для представления отвлеченного и часто весьма значительно­го содержания, напр. чайка — символ Московского Художественного театра, Московский Кремль — символ Москвы и России и т. п. Языковые 3. характеризуются тем, что не функци­онируют независимо друг от друга. Они объединяются в систему, правила которой определяют способы построения 3. — правила грамматики или синтаксиса, а также правила приписы­вания знакам смысла, значения, употребления. Выделяют 3. ес­тественных и искусственных языков. 3. естественного языка — отдельные слова, предложения, выражения, тексты и т. п. — состоят как из звуковых 3., так и из соответствующих им руко­писных, типографских и иных 3. Развитие науки привело к введе­нию в естественные языки специальных графических 3., исполь­зуемых для выражения научных понятий: математических 3., химических, физических и иных 3. Из 3. такого рода строятся ис­кусственные языки, правила которых — в отличие от правил есте­ственных языков — формулируются в явном виде. Искусственные языки находят преимущественное применение в науке, где они служат не только для общения между учеными, но и как мощное средство получения новой информации об изучаемых объектах.

Различают предметное, смысловое и экспрессив­ное значение 3. Предмет, обозначаемый 3., называется пред­метным значением или денотатом 3.3. обозначает свой предмет, но выражает свой смысл - свойство представлять опре­деленные стороны, черты, характеристики обозначаемого объекта, фиксирующие область приложения 3. В науке смысл 3. выражается в понятии. Под экспрессивным значением 3. понимают выража-

 

[112]

емые с помощью данного 3. чувства и желания человека, употре­бившего данный 3. в определенной ситуации.

С развитием способности извлекать и перерабатывать инфор­мацию о предметах, оперируя не с самими предметами, а со 3., их представляющими, связаны революционные перевороты в раз­витии науки. Напр., разработка математической символики в XVI-XVII вв. содействовала резкому ускорению развития матема­тики и расширению сферы ее приложений в механике, астроно­мии, физике; развитие формализованных, информационных, ма­шинных языков было тесно связано с развитием кибернетики. Создание специальной символики обычно открывает перед нау­кой новые возможности: рационально построенные системы 3. позволяют в обозримой форме выражать соотношения между изу­чаемыми явлениями; добиваться однозначности используемых тер­минов; фиксировать такие понятия, для которых в обычном языке нет словесных выражений; формулы часто выражают не только некоторый готовый результат, но и тот путь, следуя которому этот результат можно получить. Выражение информации с помощью 3. делает возможной ее передачу по техническим каналам связи и ее математическую, логическую, статистическую обработку с помо­щью вычислительных устройств (см.: Денотат, Смысл, Имя).

ЗНАНИЕ

— результат процесса познания действительности, получивший подтверждение в практике; адекватное отражение объективной реальности в сознании человека (представления, понятия, суждения, теории). 3. фиксируется в знаках естественных и искусственных языков. Различают обыденное и научное 3. Обыденное, или житейское, 3. опирается на здравый смысл и формы повседневной практической деятельности. Обыденное 3. слу­жит основой ориентации человека в окружающем мире, основой его поведения и предвидения.

Научное 3. отличается от обыденного своей систематичностью, обоснованностью и глубиной проникновения в сущность вещей и явлений. Наука объединяет разрозненные 3., полученные в повсед­невной практике, в стройные системы, опирающиеся на совокуп­ность исходных принципов, в которых отображаются существен­ные связи и отношения вещей, - научные теории. Законы и теории науки сознательно и целенаправленно сопоставляются с действительностью для установления их истинности и получают обоснование в эксперименте и практических приложениях. Для фиксации научного 3. используется научный язык c точны­ми понятиями, допускающий применение математического аппа­рата для обработки и сжатого выражения полученных данных. Ис­пользование особых познавательных средств позволяет науке

 

[113]

получать знания о таких сторонах и свойствах объективного мира, которые не даны человеку в его повседневном опыте.

Научное 3. принято разделять на э м п и р и ч е с к о е и тео­ретическое. Эмпирическое 3. — результат применения эмпири­ческих методов познания — наблюдения, измерения, эксперимента. Оно, как правило, констатирует качественные и количественные характеристики объектов и явлений. Устойчивая повторяемость свя­зей между эмпирическими характеристиками выражается с помо­щью эмпирических законов, часто носящих вероятностный харак­тер. Теоретический уровень научного 3. предполагает открытие законов, дающих возможность идеализированного восприятия, опи­сания и объяснения эмпирических ситуаций, т. е. познания сущно­сти явлений. Теоретическое и эмпирическое научное 3. функцио­нирует в тесной взаимосвязи: теоретические представления возникают на основе обобщения эмпирических данных и, в свою очередь, влияют на обогащение и изменение эмпирического 3. Эти уровни 3. выражаются соответственно в эмпирическом и те­оретическом языках. Термины эмпирического языка обо­значают чувственно воспринимаемые или экспериментально фик­сируемые предметы и явления. Предложения эмпирического языка непосредственно соотносятся с действительностью — с помощью наблюдения или эксперимента. Термины теоретического языка от­носятся к идеализированным, абстрактным объектам, что делает невозможной их непосредственную экспериментальную проверку.

В методологии научного познания иногда говорят о я в н о м и неявном 3. К явному относят 3., фиксированное в языке на­уки - в утверждениях и теориях. Неявное, т. е. не выраженное в языке, 3. состоит из навыков и умений читать чертежи, графики, пользоваться приборами и инструментами, применять явное 3. в конкретных ситуациях.

Роль 3. в развитии человечества постоянно возрастает. Главным источником 3. была и остается материальная практика. Однако про­изводство 3., выделившись в самостоятельную сферу человеческой деятельности, оказывает мощное воздействие на развитие самой практики. Революционные преобразования 3. всегда вызывали круп­ные изменения в средствах производства, резко повышали произ­водительность общественного труда, содействовали изменению условий жизни людей. Взаимосвязь научного 3. и общественного производства выражается в понятии научно-технической револю­ции, ведущим фактором которой является рост научного 3.

ЗНАЧЕНИЕ

— содержание, связываемое с тем или иным языко­вым выражением. Вопрос о 3. языковых выражений исследуется лингвистикой, семиотикой и логической семантикой. В последней

 

[114]

наибольшим признанием пользуется концепция 3., предложен­ная немецким математиком и логиком Г. Фреге в конце XIX в. Дальнейшую разработку эта концепция получила в трудах Б. Рас­села, Р. Карнапа, К. И. Льюиса и др.

В концепции Фреге все языковые выражения рассматриваются как имена,т. е. как обозначения некоторых внеязыковых объектов. Объект, обозначаемый языковым выражением, называется денота­том этого выражения. Напр., собственное имя «Рембрандт» обо­значает голландского художника Рембрандта, а сам этот художник является денотатом имени «Рембрандт». Точно так же и имя «ав­тор романа "Айвенго"» обозначает шотландского писателя, кото­рый является денотатом этого имени и имени «Вальтер Скотт».

Иногда денотат отождествляют со 3. Однако такое отождест­вление не всегда правомерно, ибо денотат представляет собой лишь одну сторону 3. языковых выражений. В этом легко убедиться, сопо­ставив два имени, имеющие один и тот же денотат и тем не менее различные, напр.: «автор романа "Айвенго"» и «Вальтер Скотт». Эти два имени различаются своим содержанием: первое говорит о том, что обозначаемый им объект написал определенный роман, в то время как второе говорит о том, что он носит имя «Вальтер» и фамилию «Скотт». Разница в содержании этих имен выступает с полной очевидностью в вопросе: «Был ли Вальтер Скотт автором романа "Айвенго"?» Если бы имена «Вальтер Скотт» и «автор ро­мана "Айвенго"» были тождественны, то в этом вопросе можно было бы заменить одно другим. Однако вопрос «Был ли Вальтер Скотт Вальтером Скоттом?» имеет совершенно иное содержание, и едва ли кому-нибудь придет в голову задавать такой вопрос.

Каждое языковое выражение наряду с денотатом имеет смысл — содержание выражения, которое усваивается в процессе его пони­мания. Языковое выражение обозначает свой денотат и выражает свой смысл. Разные выражения могут иметь один и тот же денотат, но различаться по смыслу. Выражение может иметь смысл, но не иметь денотата. Денотат и смысл — две стороны 3. языковых выра­жений.

Эта концепция 3. применима и к предложениям. Предложение можно рассматривать как имя некоторого истинностного 3. - ис­тины или лжи. Истина является денотатом истинного предложе­ния, ложь — денотатом ложного предложения. Смыслом предложе­ния является выражаемая им мысль, суждение. В формальных логических системах, в которых отвлекаются от смысла предложе­ний, истинные предложения оказываются взаимозаменяемыми и точно так же взаимозаменимы ложные предложения.

И

ИДЕАЛИЗАЦИЯ

— процесс мысленного конструирования пред­ставлений и понятий об объектах, не существующих и не могущих существовать в действительности, но сохраняющих некоторые чер­ты реальных объектов. В процессе И. мы, с одной стороны, отвле­каемся от многих свойств реальных объектов и сохраняем лишь те из них, которые нас в данном случае интересуют, с другой — вводим в содержание образуемых понятий такие признаки, кото­рые в принципе не могут принадлежать реальным объектам. В ре­зультате И. возникают идеальные, или идеализирован­ные, объекты, напр., «материальная точка», «прямая линия», «идеальный газ», «абсолютно черное тело», «инерция» и т. п. Любая наука, выделяя из реального мира свой аспект для изучения, пользу­ется И. и идеализированными объектами. Последние гораздо про­ще реальных объектов, что позволяет дать их точное математиче­ское описание и глубже проникнуть в природу изучаемых явлений. Плодотворность научных И. проверяется в эксперименте и мате­риальной практике, в ходе которой осуществляется соотнесение теоретических идеализированных объектов с реальными вещами и процессами.

ИДЕМПОТЕНТНОСТИ ЗАКОН (от лат. idempotens -сохраняющий ту же степень)

- логический закон, позволяющий исключить повторение одного и того же высказывания. Его формулировка: повторение высказывания через «и» и «или» равносильно само­му высказыванию. Напр., «Марс - планета и Марс - планета» есть то же самое, что «Марс - планета»; «Солнце — звезда или Солнце — звезда» то же самое, что «Солнце — звезда».

С применением символики логической (р — некоторое высказы-

 

[116]

вание; & - конъюнкция, «и»; v - дизъюнкция, «или»; = ()-экви­валентность, «если и только если») закон записывается так:

(р&р) = (p v p) = р,

р и р,если и только если р,и р или р,если и только если р. Закон позволяет исключить из логики коэффициенты и показатели сте­пеней. В алгебре а*а=а² и а+а=2а;аналогами операций умножения и сложения в логике являются конъюнкция и дизъюнкция,однако, как показывает И. з., аналогия не является полной.

ИЛЛЮСТРАЦИЯ (от лат. illustratio -прояснять)

- факт или частный случай, призванный укрепить убежденность аудитории в правильности уже известного и принятого положения. Пример под­талкивает мысль к новому обобщению и подкрепляет это обобще­ние, И. проясняет известное общее положение, демонстрирует его значение с помощью целого ряда возможных применений, усиливает эффект его присутствия в сознании аудитории. С разли­чием задач примера и И. связано различие критериев их выбо­ра. Пример должен выглядеть достаточно твердым, однозначно трак­туемым фактом. И. вправе вызывать небольшие сомнения, но она должна особенно живо воздействовать на воображение аудито­рии, останавливать на себе ее внимание. И. в гораздо меньшей степени, чем пример, рискует быть неверно интерпретирован­ной, т. к. за нею стоит уже известное положение. Различие между примером и И. не всегда является отчетливым. Аристотель разли­чал два употребления примера, в зависимости от того, имеются у оратора к.-л, общие принципы или нет: «...необходимо бывает привести много примеров тому, кто помещает их в начале, а кто помещает их в конце, для того достаточно одного [примера], ибо свидетель, заслуживающий веры, бывает полезен даже в том слу­чае, когда он один» (Риторика. Кн. II, 20, 1394а). Роль частных случаев является, по Аристотелю, разной в зависимости от того, предшествуют они тому общему положению, к которому отно­сятся, или следуют после него. Дело, однако, в том, что факты, приводимые до обобщения, — это, как правило, примеры, в то время как один или немногие факты, даваемые после него, пред­ставляют собой И. Об этом говорит и предупреждение Аристотеля, что требовательность слушателя к примеру более высока, чем к И. Неудачный пример ставит под сомнение то общее положение, ко­торое он призван подкрепить. Противоречащий пример способен даже опровергнуть это положение. Иначе обстоит дело с неудач­ной, неадекватной И.: общее положение, к которому она приво­дится, не ставится под сомнение, и неадекватная И. расценивается

[117]

скорее как негативная характеристика того, кто ее применяет, свидетельствующая о непонимании им общего принципа или о его неумении подобрать удачную И. Неадекватная И. может иметь комический эффект: «Надо уважать своих родителей. Когда один из них вас ругает, тут же ему возражайте». Ироническое использо­вание И. является особенно эффектным при описании какого-то определенного лица: сначала этому лицу дается позитивная ха­рактеристика, а затем приводится И., прямо несовместимая с нею. Так, в «Юлии Цезаре» Шекспира Антоний, постоянно напоми­ная, что Брут - честный человек, приводит одно за другим сви­детельства его неблагодарности и предательства.

Конкретизируя общее положение с помощью частного случая, И. усиливает эффект присутствия. На этом основании в ней иног­да видят образ, живую картинку абстрактной мысли. И. не ставит, однако, перед собой цель заменить абстрактное конкретным и тем самым перенести рассмотрение на другие объекты. Это делает аналогия,И. же - не более чем частный случай, подтверждающий уже известное общее положение или облегчающий более отчетли­вое его понимание.

Часто И. выбирается с учетом того эмоционального резонанса, который она способна вызвать. Так поступает, напр., Аристотель, предпочитающий стиль периодический стилю связному, не име­ющему ясно видимого конца: «... потому что всякому хочется ви­деть конец; по этой-то причине [состязающиеся в беге] задыхают­ся и обессиливают на поворотах, между тем как раньше они не чувствовали утомления, видя перед собой предел бега» (Риторика. Кн. III, 9,1409а).

Сравнение, используемое в аргументации и не являющееся срав­нительной оценкой (предпочтением), обычно представляет собой И. одного случая другим, при этом оба случая рассматриваются как конкретизация одного и того же общего принципа. Типичный при­мер сравнения: «Людей показывают обстоятельства. Стало быть, когда тебе выпадает какое-то обстоятельство, помни, что это бог, как учитель гимнастики, столкнул тебя с грубым концом» (Эпиктет. Беседы. Кн. 1, 24, 1).

ИМПЛИКАЦИЯ (от лат. implicatio -сплетение, от implico — тесно связываю)

- логическая связка, соответствующая грамматической конструкции «если..., то...», с помощью которой из двух простых высказываний образуется сложное высказывание. В импликативном высказывании различают антецедент (основание) — высказыва­ние, идущее после слова «если», и консеквент (следствие) - выска­зывание, идущее за словом «то». Импликативное высказывание пред-

 

[118]

ставляет в языке логики условное высказывание обычного языка. Последнее играет особую роль как в повседневных, так и в науч­ных рассуждениях, основной его функцией является обоснование одного путем ссылки на нечто другое.

В современной логике имеется большое число И., различающих­ся своими формальными свойствами. Наиболее известны из них И. материальная, строгая И. и релевантная (уместная) И.

Материальная И. обозначается знаком É. Это одна из основных связок логики классической. Определяется она через функции ис­тинности: И. ложна только в случае истинности антецедента и лож­ности консеквента и истинна во всех остальных случаях. Условное высказывание «Если А,то В» предполагает некоторую реальную связь между тем, о чем говорится в A и В;выражение А É В такой связи не предполагает.

Строгая И. определяется через модальное понятие (логической) невозможности: «А строго имплицирует В»означает «Невоз­можно, чтобы А было истинно, а В ложно».

В релевантной логике И. понимается как условный союз в его обычном смысле. В случае релевантной И. нельзя сказать, что ис­тинное высказывание может быть обосновано путем ссылки на любое высказывание и что с помощью ложного высказывания можно обосновать какое угодно высказывание.

ИМПЛИКАЦИЯ МАТЕРИАЛЬНАЯ - импликация в трактовке ло­гики классической.

Для установления истинности И. м. «Если А,то В»достаточно выяснить истинностные значения высказываний А и В. И. м. истинна в трех случаях: 1) ее основание и ее следствие истинны; 2) основание ложно, а следствие истинно; 3) и основа­ние и следствие ложны. Только в одном случае, когда основание истинно, а следствие ложно, вся импликация ложна. При установле­нии истинности И. м. не предполагается, что высказывания A и В связаны между собой по содержанию. В случае истинности В выска­зывание «Если A, то В» истинно, независимо от того, является A истинным или ложным и связано оно по смыслу с В или нет. Истин­ными считаются, напр., высказывания: «Если на Солнце есть жизнь, то дважды два равно четыре», «Если Волга - озеро, то Токио — большой город» и т. п. Условное высказывание истинно также тогда, когда А ложно. При этом опять-таки безразлично, истинно В или нет и связано оно по содержанию с A или нет. К истинным отно­сятся, напр., высказывания: «Если Солнце — куб, то Земля - тре­угольник», «Если дважды два равно пять, то Токио - маленький город» и т. п. В обычном рассуждении все эти высказывания вряд ли будут рассматриваться как имеющие смысл и еще в меньшей

[119]

степени как истинные. Очевидно, что И. м. плохо согласуется с обычным пониманием условной связи.

В классической логике И. м. является формальным аналогом ус­ловного высказывания. Но, схватывая многие важные черты «логиче­ского поведения» условного высказывания, И.м. не является доста­точно адекватным его описанием. Ряд законов классической логики, содержащих И. м. и не согласующихся с обычными, или интуитивны­ми, представлениями о логических связях, получил название па­радоксов материальной импликации (см.: Парадоксы импликации).В числе этих парадоксов закон Дунса Скота (парадокс ложного высказывания), парадокс истинного высказывания и др. В последние полвека были предприняты энергичные попытки реформировать теорию импликации. При этом речь шла не об отказе от И. м., а о введении наряду с нею другого понятия им­пликации, учитывающего не только истинностные значения выс­казываний, но и связь их по содержанию. Наибольшую извест­ность среди таких «неклассических» импликаций получили строгая импликация и релевантная импликация (см.: Ло­гическое следование).Теории «неклассических» импликаций явля­ются сужениями классической логики, выступающей в качестве своего рода предельного их случая. Польский логик А. Тарский отмечал: «...в настоящее время представляется почти несомнен­ным, что теория И.м. превзойдет все другие теории в простоте, и во всяком случае не надо забывать, что логика, опирающаяся на это простое понятие, оказалась вполне пригодной основой для самых сложных и тонких математических рассуждений».

ИМЯ

- выражение естественного или искусственного, форма­лизованного языка, обозначающее отдельный предмет, совокуп­ность сходных предметов, свойства, отношения и т. п. Напр., слово «Наполеон» обозначает отдельный предмет - Наполеона Бонапар­та; слово «полководец» обозначает класс людей, каждый из которых командовал войсками в сражениях; слово «белый» можно рассмат­ривать как обозначение свойства белизны; слово «выше» — как обозначение определенного отношения между предметами.

Объект, обозначаемый И., называется денотатом этого И.; со­держание И., т. е. способ, которым оно указывает на свой денотат, называется смыслом И. В традиционной логике понятиям «дено­тат» и «смысл» соответствуют понятия объема и содержа­ния. Между И. и его денотатом имеется отношение именования,т. е. И. называет, именует свой денотат. При построении логических систем стремятся к тому, чтобы отношение именования удовлет­воряло трем следующим принципам.

 

[120]

1 .Принцип однозначности: И. должно иметь только один денотат, т. е. обозначать только один предмет, класс предметов или свойство. Принцип однозначности в естественных языках часто нарушается из-за многозначности и неопределенности слов и вы­ражений. Однако следует стремиться к тому, чтобы по крайней мере в пределах одного контекста или одного рассуждения наши слова и выражения относились к одним и тем же объектам. В про­тивном случае неизбежны логические ошибки.

2. Принцип предметности: всякое предложение говорит о денотатах входящих в него выражений. Напр., предложение «Ураль­ские горы разделяют Европу и Азию» говорит не об именах «Ураль­ские горы», «Европа», «Азия», а о той горной цепи, которая разде­ляет Европейский и Азиатский материки. Принцип предметности кажется достаточно очевидным, однако, когда мы начинаем гово­рить о самих языковых выражениях или о математических объек­тах, может произойти смешение И. с их денотатами.

3. Принцип взаимозаменимости: если два И. имеют один и тот же денотат, то одно из них можно заменить другим, причем предложение, в котором осуществляется такая замена, не изменяет своего истинностного значения. Напр., И. «Москва» и «столица России» имеют один и тот же денотат, поэтому в предло­жении «Москва — многомиллионный город» можно И. «Москва» заменить И. «столица России»: «Столица России — многомилли­онный город». Второе предложение остается истинным.

Принцип взаимозаменимости называют также принципом экстенсиональности (объемности), т. к. он служит для отличения экстенсиональных контекстов от интенси­ональных. Экстенсиональным наз. такой контекст, для которо­го важны только денотаты языковых выражений. Поэтому принцип взаимозаменимости в таком контексте выполняется: при замене И. с одним денотатом предложение сохраняет свое истинностное значение. Однако если для контекста важен не только денотат, но и смысл И., принцип взаимозаменимости нарушается: заме­на И. с одним денотатом может сделать истинное предложение ложным. Поэтому неэкстенсиональными, или интенсиональны­ми, наз. контексты, в которых принцип взаимозаменимости на­рушается. Напр., цифра «9» и И. «число планет Солнечной систе­мы» имеют один и тот же денотат (т. к. число планет Солнечной системы равно 9). Рассмотрим предложение: «9 необходимо боль­ше 7». Это предложение истинно. Заменим теперь в этом предло­жении «9» именем «число планет Солнечной системы», получим предложение: «Число планет Солнечной системы необходимо боль-

[121]

ше 7». Последнее предложение очевидно ложно, т. к. нет никакой необходимости в том, чтобы число планет Солнечной системы превосходило 7.

В зависимости от характера денотата и смысла И. подразделя­ются на классы.

Единичное (собственное) И. - И., денотатом которого яв­ляется один-единственный предмет, напр. «Аристотель», «Монб­лан», «Нева», «величайший философ древности», «река, на которой стоит Ленинград» и т. п.

Общее И. — И., денотатом которого является класс однород­ных предметов, напр. «философ», «гора», «река» и т. п.

Пустое И. — И., у которого отсутствует денотат, т. е. не суще­ствует такого предмета, который обозначается данным И., напр. «единорог», «Зевс», «русалка», «кентавр» и т. п. Вопрос о пустоте или непустоте того или иного И. часто имеет большое значение, и на него не всегда просто ответить. Имеются логически противоре­чивые И., смысл которых включает в себя логически несовмести­мые признаки, напр. «круглый квадрат», «деревянное железо». Та­кие И. можно назвать логически пустыми. Однако существование женщин с рыбьим хвостом или существ, объединяющих в себе коня и человека, не противоречит законам логики, но с точки зрения физики и биологии невозможно. Поэтому И. «русалка» и «кентавр» пусты по естественнонаучным основаниям. Во многих случаях мы не знаем законов природы, отрицающих существова­ние тех или иных объектов, поэтому вопрос о пустоте или непус­тоте соответствующих И. решается эмпирическим исследованием.

Конкретное И. -И., обозначающее отдельный предмет, вещь, в противоположность абстрактному И., обозначающему свой­ство или отношение между предметами. Напр., слово «стол» — кон­кретное И., т. к. обозначает предметы, целостные вещи, а слово «белизна» является абстрактным И., поскольку обозначает не пред­мет, а свойство предметов. Деление И. на конкретные и абстрактные осуществляется в рамках традиционной логики и не является вполне определенным. Во многих случаях довольно трудно решить, имеем ли мы дело с предметом или с некоторым свойством. Напр., такие слова, как «республика», «совесть» и т. п., можно истолковать и как обозначения предметов, и как обозначения свойств и отношений.

ИНДИВИД (от лат. individuum -неделимое)

— единичное как противоположность совокупности, массе; отдельное живое суще­ство, особь, отдельный человек, в отличие от стада, группы, коллек­тива. В логике И. называют любой объект, обозначаемый еди­ничным, или собственным, именем. Логические формальные

 

[122]

исчисления, содержащие общие и экзистенциальные предложе­ния, обычно предполагают существование непустой области к.-л. индивидуальных предметов - индивидов, к которым относятся утверждения формальной системы. Природа И. для логики безраз­лична, требуется только, чтобы они отличались один от другого и чтобы каждый И. обозначался одним именем.

ИНДУКТИВНАЯ ЛОГИКА

- раздел логики, изучающий индук­тивные умозаключения, которые отличаются от дедуктивных умо­заключений тем, что вывод в них вытекает из посылок не с необходимостью, а лишь с некоторой вероятностью. Типичным примером индуктивного умозаключения является переход от еди­ничных фактов к общему утверждению. Современная И.л. в основ­ном занимается анализом степени подтверждения гипотезы h на основании имеющегося свидетельства е. В формальной теории сте­пень связи между гипотезой h и свидетельством е выражается фун­кцией c (h, e),удовлетворяющей условию 0 ≤ c (h, e) ≤ 1. Значение фун­кции с (h, е)равно 1, если Л логически выводится из е;оно равно О, если е противоречит Л; во всех остальных случаях оно располагает­ся в интервале (О, 1) и характеризует большую или меньшую сте­пень вероятности (подтверждения) гипотезы Л по отношению к свидетельству е. В некоторых теориях И. л. степень подтверждения гипотезы h оценивается не строго количественно, а лишь сравни­тельно — в терминах «больше — меньше» (см.: Индукция).

ИНДУКТИВНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ

- определение, позволяющее из некоторых исходных объектов теории с помощью некоторых операций строить новые объекты теории. И.о. находят широкое применение в математике, логике и других науках. Примером мо­жет быть И.о. натуральных чисел. Исходным объектом здесь будет число 0, исходной операцией — «следующее за п»,т. е. операция, обеспечивающая переход от числа п к п + 1. Она обозначается «'» («n '» — «следующее за n»). И.о. состоит из ряда пунктов: 1) 0 явля­ется натуральным числом; 2) если п -натуральное число, то п' -натуральное число; 3) никаких натуральных чисел, кроме тех, ко­торые получаются согласно применению пунктов (1) и (2), нет.

Таково же определение четного числа. Исходным объектом здесь является число 0, исходной операцией — операция прибавления двойки (+2), И. о. состоит из таких пунктов: 1) 0- четное число; 2) если п -четное число, то п + 2 -четное число; 3) никаких (натуральных) чисел, кроме тех, которые порождены примене­нием пунктов (1) и (2), нет.

Примером И. о. может быть И. о. формулы в исчислении высказы­ваний.

[123]

Различают два основных вида И. о.: фундаментальные и нефундаментальные. Фундаментальными называются такие И. о., с помощью которых из исходных объектов порождается та или иная исходная предметная область. Нефундаментальными являют­ся И. о., с помощью которых из заранее определенной области объектов выделяется некоторое ее подмножество. Приведенные выше И. о. натурального числа и формулы в исчислении высказы­ваний являются фундаментальными, И. о. четного числа является нефундаментальным: предполагается, что область натуральных чи­сел дана с самого начала или порождена фундаментальным И. о., а мы на ней определяем некоторое подмножество натуральных чи­сел (т. е. множество «четные числа»).

ИНДУКЦИИ КАНОНЫ (от греч. canon — правило, предписание)

-методы установления причинных связей между явлениями. Сфор­мулированы англ. логиком Д. С. Миллем (1806-1873) («методы Милля», «каноны Милля»). Он опирался на «Таблицы открытий» англ. философа Ф. Бэкона (1561-1626).

Метод единственного сходства:

если предшеству­ющие обстоятельства ABC вызывают явление abc,а обстоятель­ства ADE -явление ade,то делается заключение, что А -причи­на а (или что явления А и а причинно связаны). Так, желая установить, почему изучаемые маятники имеют одинаковый пе­риод колебания при различии материалов, из которых они изго­товлены, различии форм и других их характеристик, мы обнару­живаем между ними единственное сходство: они имеют одинаковую длину. Отсюда