Достаточные условия экстремума функции.

       Для нахождения максимумов и минимумов функции можно пользоваться любым из трех признаков экстремума, конечно, если функция удовлетворяет их условиям. Самым распространенным и удобным является первый из них.

Первое достаточное условие экстремума.

       Пусть функция y=f(x) дифференцируема в -окрестности точки , а в самой точке  непрерывна.

       Тогда

                       

●                    если  при  и  при , то  - точка максимума;           

●                    если  при  и  при , то  - точка минимума.            

       Другими словами:

                       

●                    если в точке  функция непрерывна и в ней производная меняет знак с плюса на минус, то  - точка максимума;           

●                    если в точке  функция непрерывна и в ней производная меняет знак с минуса на плюс, то  - точка минимума.            

       Алгоритм нахождения точек экстремума по первому признаку экстремума функции.

           

●        Находим область определения функции.

●        Находим производную функции на области определения.

●        Определяем нули числителя, нули знаменателя производной и точки области определения, в которых производная не существует (все перечисленные точки называют точками возможного экстремума, проходя через эти точки, производная как раз может изменять свой знак).

●        Эти точки разбивают область определения функции на промежутки, в которых производная сохраняет знак. Определяем знаки производной на каждом из интервалов (например, вычисляя значение производной функции в любой точке отдельно взятого интервала).

●        Выбираем точки, в которых функция непрерывна и, проходя через которые, производная меняет знак - они и являются точками экстремума.

Непрерывность функции в точке.

       Определение непрерывности функции в точке.

       Функция f(x) называется непрерывной в точке , если предел слева равен пределу справа и совпадает со значением функции в точке , то есть .          

Следствие.

ЗНАЧЕНИЕ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ В ТОЧКАХ НЕПРЕРЫВНОСТИ СОВПАДАЕТ СО ЗНАЧЕНИЕМ ФУНКЦИИ В ЭТИХ ТОЧКАХ.

Устранимый разрыв 1 рода.

       Определение устранимого разрыва первого рода.

       В точке  функция имеет устранимый разрыв первого рода, если предел слева равен пределу справа, но они не равны значению функции в точке,то есть .

Неустранимый разрыв 1 рода.

     Определение неустранимого разрыва первого рода (точка скачка функции).

       В точке  функция имеет неустранимый разрыв первого рода, если пределы слева и справа НЕ равны, то есть . Точку  в этом случае называют точкой скачка функции.

Разрыв 2 рода.

     Определение разрыва второго рода (бесконечный разрыв).

       В точке  функция имеет разрыв второго рода, если либо предел слева , либо предел справа , не существует или бесконечен.

 

 

Теоремы Ферма и Ролля. Их геометрический смысл.

Теорема Ферма.

Если функция определена в некоторой окрестности точки, принимает в этой точке наибольшее (наименьшее) значение и имеет конечную или определенного знака бесконечную производную, то эта производная равна нулю.

Доказательство.

Пусть функция f определена на окрестности U(x₀) точки x₀ и принимает в этой точке, например, наибольшее значение, т. е. для любой точки x  U(x₀) выполняется неравенство f(x) < f(x₀). Тогда если x < x₀, то

(12.1)

а если x > x₀, то

(12.2)

       По условию теоремы существует конечный или определенного знака бесконечный предел

поэтому в неравенствах (12.1) и (12.2) можно перейти к пределу при x x₀. В результате получим соответственно f'(x₀) > 0 и f'(x₀) < 0. Следовательно, f'(x₀) = 0.