Точки разрыва и их классификация. Теоремы о точках разрыва монотонной функции.

Пусть функция f определена в некоторой окрестности точки x₀, кроме, быть может, самой точки x₀. Тогда x₀ называется точкой разрыва функции f, либо если функция f не определена в самой точке x₀, либо если она определена в этой точке, но не является в ней непрерывной. 

Если в точке разрыва существуют конечные пределы f(x₀ - 0) и f(x₀ + 0), то она называется точкой разрыва первого рода, а величина f(x₀ - 0) - f(x₀ + 0) - скачком функции f в точке x₀.

Если скачок функции в точке x0 равен нулю, то точка x0 называется точкой устранимого разрыва. Точка  называется точкой разрыва 2-го рода функции  , если хотя бы один из односторонних пределов  и  не существует или бесконечен.

Теорема (о точках разрыва монотонной функции). Если функция  монотонна на интервале  , точка  является точкой разрыва  , то с – точка разрыва 1-го рода.

оказательство. Пусть функция  не убывает на интервале  . Рассмотрим интервал  .Для всех значений х  имеем  , т.е.  ограничена сверху. В силу ограниченности сверху множества  существует  . Покажем, что  . Действительно,  для всех  , так как А – верхняя граница значений  . Возьмем  произвольно. Поскольку А – точная верхняя граница значений  , найдется  такое, что  . Тогда для  тем более  в силу возрастания функции. Таким образом, для всех  , для  и, значит, для  , т.е.  . Взяв  , получим, что для всех х, таких, что  имеем  . А это и означает, что  .

Таким образом, доказано существование  .

Аналогично доказывается существование  .

В силу существования  и  , с – точка разрыва 1 рода.

 

 

Производная функции и её свойства. Теорема о непрерывности функции, имеющей производную.

Определение правой и левой производной. Теорема о необходимом и достаточном условии дифференцируемости функций в точке.

Дифференцируемость функции в точке. Теорема о необходимом и достаточном условии дифференцируемости функции в точке.

Теорема о необходимом и достаточном условии дифференцируемости функции в точке. (СМОТРИ БИЛЕТ 42)!!!

 

Дифференциал функции. Абсолютная и относительная погрешность.

 

Геометрический и физический смысл производной. Теорема о предельном положении секущей.

Правила вычисления производных, связанных с арифметическими действиями над функциями.

 Теорема 3. Если функции y₁ = f₁(x) и y₂ = f₂(x) заданы в окрестности точки x₀ R, а в самой точке x₀ имеют конечные производные, то функции ₁ f₁(x) + ₂ f₂(x), ₁ R, ₁ R, f₁(x)f₂(x), а в случае f₂(x₀) 0 и функции f₁(x)/f₂(x) также имеют в точке x₀ конечные производные; при этом имеют место формулы

( 1 y1 + 2 y2)' = 1 y'1 + 2 y'2,	(10.21)
(y1y2)' = y'1y2 + y1y'2,	(10.22)
	(10.23)

(в формулах (10.21)-(10.23) значения всех функций взяты при x = x₀).

Прежде всего заметим, что в силу условий теоремы в точке x₀ существуют конечные пределы

( y₁/ x) = y'₁, ( y₂/ x) = y'₂.